Analyse de l'énoncé et objectifs

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue une base solide pour les élèves de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et en trigonométrie, des notions essentielles pour aborder sereinement le produit scalaire et les coordonnées polaires en fin d'année. L'objectif est de déterminer la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ dans trois configurations différentes faisant appel à des propriétés distinctes du plan.

Points de vigilance et prérequis

• Trigonométrie de base : La connaissance des rapports sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle est impérative (SOH CAH TOA).
• Propriétés du cercle : Se souvenir qu'un triangle inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre est rectangle.
• Polygones réguliers : Comprendre la symétrie centrale et la répartition des angles au centre pour un polygone régulier (pentagone).
• Somme des angles : La somme des mesures des angles d'un triangle vaut toujours $180^{\circ}$.

Correction détaillée

Figure 1 : Dans le triangle ABC, nous observons un codage indiquant un angle droit en A. Le triangle est donc rectangle en A. Nous connaissons le côté opposé à l'angle recherché (AC = 3 cm) et l'hypoténuse (BC = 6 cm). La formule appropriée est le sinus :
$\sin(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{BC} = \frac{3}{6} = 0,5$.
En utilisant la calculatrice (fonction $\arcsin$ ou $\sin^{-1}$), on obtient $\widehat{ABC} = 30^{\circ}$.

Figure 2 : [AB] est un diamètre du cercle de centre O. Le point C appartient au cercle. D'après la propriété du triangle inscrit dans un demi-cercle, le triangle ABC est rectangle en C. On sait que la somme des angles dans un triangle est égale à $180^{\circ}$. On connaît déjà $\widehat{ACB} = 90^{\circ}$ et $\widehat{BAC} = 59^{\circ}$.
Calcul : $\widehat{ABC} = 180 - (90 + 59) = 180 - 149 = 31^{\circ}$.

Figure 3 : La figure représente un pentagone régulier inscrit dans un cercle. L'angle au centre associé à un côté (par exemple $\widehat{AOB}$) se calcule par la formule $\frac{360}{n}$ où $n$ est le nombre de côtés. Ici, $\widehat{AOB} = \frac{360}{5} = 72^{\circ}$. Le triangle OAB est isocèle en O (car OA = OB sont des rayons). Les angles à la base sont égaux : $\widehat{OBA} = \frac{180 - 72}{2} = 54^{\circ}$. Par symétrie, l'angle total $\widehat{ABC}$ du pentagone est le double de cet angle à la base : $2 \times 54 = 108^{\circ}$.
Alternative : La somme des angles d'un polygone à $n$ côtés est $(n-2) \times 180$. Pour un pentagone, $3 \times 180 = 540^{\circ}$. Comme il est régulier, chaque angle mesure $\frac{540}{5} = 108^{\circ}$.