Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2025 (Etrangers) constitue un pivot essentiel du programme de troisième. Il mobilise quatre compétences fondamentales du socle commun : l'exécution d'un programme de calculs, la manipulation du calcul littéral, la résolution d'équations du premier degré et l'interprétation graphique des fonctions affines. Comprendre l'interaction entre ces domaines est crucial pour maximiser ses points lors de l'examen national. Dans cet énoncé, l'élève doit être capable de passer d'un algorithme textuel à une expression algébrique, puis de valider cette expression par une analyse graphique rigoureuse.

Analyse détaillée du programme de calculs

La première partie de l'exercice teste la capacité de l'élève à suivre un protocole opératoire précis. C'est une étape de mise en confiance mais qui cache souvent des pièges liés aux priorités opératoires et à la règle des signes.

Dans la question 1, avec le nombre de départ $1$, les étapes sont les suivantes : $1 \times (-2) = -2$, puis $-2 + 4 = 2$, et enfin $2 \times 4 = 8$. Le résultat est bien validé. Il est recommandé de noter chaque étape intermédiaire pour éviter toute erreur d'étourderie.

La question 2 introduit un nombre de départ négatif, $-2$. C'est ici que les erreurs de signes sont les plus fréquentes. Multiplication : $(-2) \times (-2) = 4$ (le produit de deux nombres négatifs est positif). Addition : $4 + 4 = 8$. Finalisation : $8 \times 4 = 32$. Le résultat est $32$. Il est indispensable de bien maîtriser la règle du 'moins par moins' dans ce type de configuration.

Le passage à l'abstraction : Calcul littéral

La question 3 est le cœur de l'exercice : la modélisation algébrique. En notant $x$ le nombre de départ, nous suivons le programme : $x \to -2x \to -2x + 4$. La dernière étape est la multiplication du résultat obtenu par 4. Cela impose l'utilisation de parenthèses : $4 \times (-2x + 4)$.

En utilisant la distributivité simple, nous obtenons : $4 \times (-2x) + 4 \times 4 = -8x + 16$. Cette démonstration prouve que le programme de calcul peut être résumé par une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$, où $a = -8$ et $b = 16$. Savoir passer d'un texte à une formule littérale est une compétence transverse que l'on retrouve dans de nombreux problèmes du Brevet.

Résolution de l'équation et recherche de l'antécédent

La question 4 porte sur la résolution d'équations. On nous demande de trouver $x$ tel que $-8x + 16 = 4$. Cela revient à chercher l'antécédent de 4 par la fonction $f$.

Processus de résolution :
1. Soustraire 16 de chaque côté : $-8x = 4 - 16$, soit $-8x = -12$.
2. Diviser par le coefficient de $x$ : $x = \frac{-12}{-8} = \frac{12}{8} = 1,5$.
La vérification est simple : si l'on part de $1,5$, on arrive bien à 4. Dans votre rédaction, n'oubliez pas d'isoler l'inconnue étape par étape et de conclure par une phrase claire.

Analyse graphique et fonctions affines

La question 5 demande de choisir la représentation graphique correcte pour $f(x) = -8x + 16$. C'est une question d'analyse qualitative et quantitative.

Une fonction affine $f(x) = ax + b$ possède deux caractéristiques majeures :
1. L'ordonnée à l'origine ($b = 16$). La droite doit couper l'axe des ordonnées au point $(0 ; 16)$. Cela permet d'éliminer immédiatement la représentation 2, qui semble passer par l'ordonnée 8.
2. Le coefficient directeur ($a = -8$). Puisque $a$ est négatif, la fonction est décroissante. La droite 'descend'. Cela élimine la représentation 1, qui est une droite croissante.
La représentation 3 est donc la seule valide. On peut vérifier avec un point test : nous avons trouvé précédemment que $f(1,5) = 4$. Sur le graphique 3, on observe bien que le point de coordonnées $(1,5 ; 4)$ appartient à la droite. De même, pour $x=2$, $f(2) = -8 \times 2 + 16 = 0$, ce qui correspond au point d'intersection avec l'axe des abscisses visible sur le troisième graphique.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Voici les erreurs classiques observées par les correcteurs :
- Oublier les parenthèses lors de la mise en équation (Question 3).
- Se tromper de signe lors du passage d'un terme de l'autre côté de l'égalité (Question 4).
- Confondre le coefficient directeur (pente) et l'ordonnée à l'origine lors de l'analyse graphique (Question 5).
- Ne pas expliquer la démarche pour le choix du graphique : il ne suffit pas de donner le numéro, il faut justifier par le calcul ou par les propriétés du cours.

Conseils de rédaction pour gagner tous les points

Pour chaque question, commencez par citer les données. Utilisez des connecteurs logiques (donc, alors, or). Pour la question 5, la méthode la plus rigoureuse consiste à calculer l'image de deux nombres (par exemple 0 et 2) et de montrer que seul le graphique 3 passe par ces deux points. Une copie propre, aérée, avec des résultats encadrés, facilite le travail du correcteur et valorise votre raisonnement mathématique.