Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité. Il traite de la conjecture mathématique et de la démonstration par le calcul littéral. L'objectif est de valider une astuce de calcul mental pour élever au carré des nombres se terminant par 0,5 (ou de la forme n + 1/2). En mathématiques de spécialité, cette capacité à passer d'une observation numérique à une preuve formelle est fondamentale pour aborder les chapitres sur les suites ou les fonctions polynômes.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les points suivants :
- Les identités remarquables : Notamment $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. C'est l'outil principal pour développer l'expression de la conjecture.
- La factorisation simple : Savoir reconnaître un facteur commun (ici $n$) dans l'expression $n^2 + n$.
- La rigueur de la preuve : Comprendre qu'un exemple numérique ne suffit pas à prouver une propriété universelle pour tout entier $n$.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Vérification pour 3,5 : Julie suggère de multiplier l'entier par son suivant et d'ajouter 0,25. Pour $3,5$, l'entier $n$ est 3. Le calcul est : $3 \times 4 + 0,25 = 12 + 0,25 = 12,25$. Vérifions par le calcul classique : $3,5^2 = 12,25$. La méthode de Julie fonctionne.
2. Application à 7,5 : Pour calculer $7,5^2$ simplement, on prend $n = 7$. On effectue $7 \times 8$ puis on ajoute $0,25$.
Calcul : $7 \times 8 = 56$, donc $7,5^2 = 56,25$.
3. Preuve de la conjecture : Considérons l'expression de gauche $(n + 0,5)^2$. En utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2$, on obtient :
$(n + 0,5)^2 = n^2 + 2 \times n \times 0,5 + 0,5^2$
$(n + 0,5)^2 = n^2 + 1n + 0,25 = n^2 + n + 0,25$.
Maintenant, développons l'expression de droite proposée par Julie : $n(n + 1) + 0,25$.
En distribuant $n$, on obtient : $n \times n + n \times 1 + 0,25 = n^2 + n + 0,25$.
Les deux expressions sont rigoureusement identiques pour tout nombre $n$. La conjecture est donc prouvée.
Pourquoi cet exercice est utile en Première Spé ?
En classe de Première, cet exercice préfigure l'étude des fonctions polynômes du second degré. Il apprend à manipuler des expressions de forme développée et de forme factorisée, une compétence clé pour le calcul de discriminants ou la recherche de racines plus tard dans l'année.