Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue un excellent test de synthèse pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane : le théorème de Pythagore, le théorème de Thalès (ou les propriétés d'homothétie/similarité) et le calcul de périmètres circulaires. L'objectif est de décomposer la piste cyclable en sept segments ou arcs distincts : AE, EF, FG, l'arc GH, HI, IJ et JA.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul de la largeur du rectangle : Utilisation de Pythagore dans le triangle ABC pour trouver BC.
• Thalès et parallélisme : Calculer EF en exploitant (EF) // (AC).
• Arc de cercle : Identifier le rayon de l'arc GH et calculer sa longueur via la formule du périmètre (quart de cercle).
• Rigueur des arrondis : Garder les valeurs exactes (avec \(\pi\) et les racines carrées) le plus longtemps possible.

Correction détaillée

1. Calcul de BC : Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après Pythagore :
\(BC^2 = AC^2 - AB^2 = 312^2 - 288^2 = 14400\), soit \(BC = \sqrt{14400} = 120\) m.

2. Calcul de EF : Puisque (EF) // (AC), les triangles EBF et ABC sont semblables. Le rapport de réduction est \(k = EB / AB = 48 / 288 = 1/6\).
Ainsi, \(EF = AC / 6 = 312 / 6 = 52\) m et \(BF = BC / 6 = 120 / 6 = 20\) m.

3. Segments intermédiaires :
- \(AE = AB - EB = 288 - 48 = 240\) m.
- \(FG = BC - BF - GC = 120 - 20 - 52 = 48\) m.
- \(GH\) (arc) : Le rayon est \(GC = 52\) m. Longueur \(= (1/4) \times 2 \times \pi \times 52 = 26\pi \approx 81,68\) m.
- \(HI = CD - DI - \text{rayon} = 288 - 29 - 52 = 207\) m.
- \(IJ\) : Dans le triangle IDJ rectangle en D, \(IJ = \sqrt{ID^2 + DJ^2} = \sqrt{29^2 + 72^2} = \sqrt{6025} \approx 77,62\) m.
- \(JA = AD - JD = 120 - 72 = 48\) m.

4. Longueur totale :
\(L = AE + EF + FG + GH + HI + IJ + JA\)
\(L = 240 + 52 + 48 + 26\pi + 207 + \sqrt{6025} + 48 = 595 + 26\pi + \sqrt{6025} \approx 754,3\) m.