Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2025 (Zone Amérique du Nord) constitue un pilier fondamental du programme de 3ème. Il mobilise des compétences transversales essentielles : la lecture graphique, la proportionnalité et le calcul de vitesses moyennes (grandeurs composées). Dans le cadre de l'épreuve de mathématiques, ces thématiques représentent souvent une part significative des points, car elles évaluent la capacité de l'élève à extraire des informations d'un document et à effectuer des conversions temporelles précises. La maîtrise de la relation $d = v \times t$ est ici mise à l'épreuve dans un contexte concret : une course à pied de $13,5$~km.

Analyse méthodique de l'exercice

L'analyse se décompose en plusieurs étapes logiques qui permettent de valider les acquis sur les fonctions affines et linéaires de manière implicite.

1. Étude de la proportionnalité via le graphique

La première question demande si le temps et la distance sont proportionnels. Pour qu'il y ait proportionnalité sur un graphique, la représentation doit obligatoirement être une droite passant par l'origine. En observant la courbe magenta, on constate qu'elle est composée de plusieurs segments de droites avec des pentes différentes (ruptures de pente à 10, 20, 30, 40 minutes, etc.). Par exemple, entre 0 et 10 minutes, Malo parcourt $2$~km, tandis qu'entre 30 et 40 minutes, la courbe est horizontale (distance constante de $6,5$~km), ce qui indique un arrêt. Comme la représentation n'est pas une droite unique, il n'y a pas de proportionnalité globale entre le temps et la distance.

2. Lecture graphique et extraction de données

La lecture graphique nécessite une grande précision. Pour la question 2, il suffit de se placer sur l'axe des abscisses (temps) à 20 minutes et de remonter verticalement jusqu'à la courbe. On lit alors sur l'axe des ordonnées (distance) la valeur de $4,5$~km. Pour la question 3, le raisonnement est inverse : on part de l'ordonnée $9$~km et on cherche l'antécédent sur l'axe des abscisses. On trouve alors $50$ minutes. Ces exercices de lecture sont des points « faciles » à condition de bien identifier les axes.

3. Calcul de la vitesse moyenne : La rigueur des unités

La question 4 est le cœur mathématique de l'exercice. Malo parcourt $13,5$~km en $80$ minutes. La formule de la vitesse est $v = \frac{d}{t}$. Cependant, le résultat est demandé en km/h. Il faut donc convertir $80$ minutes en heures. $80$ min correspond à $\frac{80}{60}$ h, soit $\frac{4}{3}$ h. Le calcul devient $v = 13,5 \div (80/60) = 13,5 \times \frac{60}{80} = 10,125$ km/h. En arrondissant au dixième, on obtient $10,1$ km/h. L'erreur classique est de diviser 13,5 par 80 sans convertir, ce qui donne un résultat incohérent.

4. Comparaison de performances : Louise vs Hillal

La dernière partie introduit deux nouveaux coureurs avec des vitesses constantes. Pour savoir qui arrive premier (Question 5a), on calcule le temps de chacun pour $13,5$ km. Pour Louise ($v = 12$ km/h) : $t = \frac{13,5}{12} = 1,125$ h, soit $1$ h $07$ min $30$ s ($0,125 \times 60 = 7,5$ minutes). Pour Hillal ($v = 10$ km/h) : $t = \frac{13,5}{10} = 1,35$ h, soit $1$ h $21$ min. Louise arrive donc la première. Pour la question 5b, on cherche la distance séparant les deux au moment où Louise finit ($t = 1,125$ h). Distance parcourue par Hillal : $d = 10 \times 1,125 = 11,25$ km. L'écart est donc de $13,5 - 11,25 = 2,25$ km.

Les pièges à éviter

• L'unité de temps : Ne jamais utiliser les minutes directement dans la formule de vitesse si on veut des km/h. Convertissez toujours en heures décimales.
• La confusion des axes : Toujours vérifier quel axe représente la distance et lequel représente le temps avant de commencer la lecture.
• L'arrondi : Respectez scrupuleusement la consigne (ici, le dixième).

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, explicitez toujours vos formules. Écrivez $v = \frac{d}{t}$ avant d'injecter les chiffres. Même si aucune justification n'est attendue pour certaines questions, une petite phrase de conclusion (« Malo a parcouru 4,5 km en 20 minutes ») permet de clarifier votre copie pour le correcteur. Pour les calculs de Louise et Hillal, montrez bien l'étape de la conversion du temps décimal en minutes/secondes pour prouver votre maîtrise des grandeurs composées.