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Exercice Première Spécialité - 2013 - Ex 2 : Polynômes et Systèmes

1 juin 2013 Troisième (Brevet)

Révise les systèmes avec cet exercice ! 🐚

Tu veux renforcer tes bases en modélisation mathématique ? Cet exercice classique est parfait pour s'entraîner à transformer un problème concret en équations gagnantes. 🎯

Ce que tu vas apprendre à maîtriser :

✅ Traduire un énoncé rapidement.
✅ Résoudre un système par substitution.
✅ Vérifier tes résultats comme un pro.

Un incontournable pour aborder sereinement les chapitres sur les polynômes et la géométrie de Première Spécialité. Prêt à relever le défi des coquillages ? 🚀

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Analyse de l'énoncé et modélisation

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, pose les bases fondamentales de la modélisation algébrique que l'on retrouve en Première Spécialité lors de l'étude des fonctions et des systèmes. La problématique consiste à traduire un énoncé en langage naturel vers un langage mathématique structuré. Nous sommes ici face à un problème à deux inconnues : le nombre de grands coquillages et le nombre de petits coquillages.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont nécessaires :

Définition des variables : Il est crucial de nommer précisément les inconnues (par exemple, x pour les grands et y pour les petits).
Mise en équation : Transformer les contraintes (nombre total et longueur totale) en égalités mathématiques.
Méthode de résolution : Utiliser soit la substitution, soit la combinaison linéaire.
Vérification : S'assurer que les solutions obtenues sont cohérentes avec le contexte (nombres entiers et positifs).

Correction détaillée et guide de résolution

Étape 1 : Choix des inconnues
Soit $x$ le nombre de grands coquillages et $y$ le nombre de petits coquillages.

Étape 2 : Traduction des données
1. L'enfant a ramassé 20 coquillages au total, d'où l'équation : $x + y = 20$.
2. La longueur totale est de 32 cm. Les grands font 2 cm et les petits 1 cm, d'où l'équation : $2x + 1y = 32$.

Étape 3 : Résolution du système
Nous avons le système suivant :
{ $x + y = 20$ (Eq 1)
{ $2x + y = 32$ (Eq 2)

En isolant $y$ dans la première équation, nous obtenons : $y = 20 - x$.
Substituons cette expression dans la deuxième équation :
$2x + (20 - x) = 32$
$2x - x + 20 = 32$
$x + 20 = 32$
$x = 32 - 20$
$x = 12$

Maintenant, remplaçons $x$ par 12 dans l'expression de $y$ :
$y = 20 - 12 = 8$.

Étape 4 : Conclusion et vérification
L'enfant possède 12 grands coquillages et 8 petits coquillages. Vérifions les totaux : 12 + 8 font bien 20 coquillages. $12 \times 2 + 8 \times 1 = 24 + 8 = 32$ cm. Le résultat est cohérent.

Importance en Première Spécialité

Même si cet exercice paraît simple, la capacité à poser un système est le socle de l'étude des intersections de courbes, de la recherche de coefficients polynomiaux ou de la résolution de problèmes d'optimisation. La rigueur dans la rédaction est une exigence forte du cycle terminal.