Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Polynésie 2013, propose une étude comparative entre deux formes géométriques classiques : le pavé droit (parallélépipède rectangle) et une forme composée associant un cylindre et deux demi-sphères. Bien que les calculs de base relèvent de la géométrie du collège, la problématique sous-jacente — comparer des surfaces à volume constant — est un prélude essentiel au chapitre sur la dérivation et l'optimisation en classe de Première Spécialité.
Points de vigilance et notions requises
- Formulaire de géométrie : Il est crucial de maîtriser les formules d'aire latérale (2πrh pour le cylindre) et d'aire de la sphère (4πr²).
- Unités et arrondis : L'exercice demande des vérifications de proximité de valeurs ; une précision à la calculatrice est nécessaire avant d'arrondir.
- Interprétation économique : Comprendre que le coût de fabrication est directement proportionnel à l'aire totale des faces puisque le matériau a une épaisseur constante.
Guide de résolution détaillé
1. Comparaison des volumes
Pour le conteneur A (pavé droit) : $V_A = c \times c \times h = 1 \times 1 \times 2 = 2\text{ m}^3$.
Pour le conteneur B : Le volume est la somme de celui d'un cylindre et d'une sphère complète (deux demi-sphères).
$V_{cylindre} = \pi \times 0,58^2 \times 1,15 \approx 1,215\text{ m}^3$.
$V_{sphère} = \frac{4}{3} \times \pi \times 0,58^3 \approx 0,817\text{ m}^3$.
Total $V_B \approx 2,032\text{ m}^3$. Les volumes sont donc quasiment identiques.
2. Analyse des surfaces (Coût de fabrication)
L'aire détermine la quantité de matériau utilisé :
- Aire A : 2 bases ($1 \times 1$) + 4 faces latérales ($1 \times 2$) = $2 + 8 = 10\text{ m}^2$.
- Aire B : Aire latérale cylindre ($2\pi \times 0,58 \times 1,15$) + Aire sphère ($4\pi \times 0,58^2$).
$S_B \approx 4,19 + 4,23 \approx 8,42\text{ m}^2$.
Conclusion : Le conteneur B est plus économique car il nécessite environ $1,6\text{ m}^2$ de matériau en moins par conteneur pour un volume utile équivalent.
Lien avec le programme de Première
En Première Spécialité, ce type d'exercice évolue vers la recherche d'un extremum. On pourrait chercher, pour un volume donné, le rayon $r$ qui minimise l'aire totale $S(r)$ en étudiant la dérivée $S'(r)$.