Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015, constitue un excellent entraînement à la modélisation algébrique en classe de Première Spécialité. Le problème repose sur la manipulation de figures planes (triangles équilatéraux et hexagone) et l'établissement d'une égalité de périmètres. L'enjeu est de traduire une configuration géométrique complexe en une équation simple du premier degré.

Points de vigilance et notions requises

• Propriétés du triangle équilatéral : Tous les côtés sont égaux, donc le périmètre vaut $3 \times \text{côté}$.
• Décomposition de la figure : L'hexagone central est formé en retirant les coins d'un grand triangle de 6 cm de côté. Il faut identifier correctement ses 6 côtés.
• Modélisation : Choisir une variable $x$ représentant le côté des petits triangles et exprimer toutes les longueurs en fonction de $x$.

Correction détaillée

Soit $x$ la longueur du côté d'un petit triangle équilatéral. Pour que la figure soit possible, on doit avoir $0 < 2x < 6$, soit $0 < x < 3$.

1. Périmètre des petits triangles : Le périmètre d'un petit triangle est $3x$. La somme des périmètres des trois petits triangles est donc : $P_1 = 3 \times 3x = 9x$.

2. Périmètre de l'hexagone : L'hexagone possède 6 côtés alternés :
- 3 côtés qui correspondent aux bases des petits triangles découpés : longueur $3 \times x$.
- 3 côtés situés sur les bords du grand triangle initial : chaque segment mesure $6 - 2x$ (le côté total moins les deux segments occupés par les petits triangles). Longueur totale : $3 \times (6 - 2x) = 18 - 6x$.
Le périmètre total de l'hexagone est donc : $P_2 = 3x + (18 - 6x) = 18 - 3x$.

3. Résolution de l'équation : L'énoncé impose $P_1 = P_2$, soit :
$9x = 18 - 3x$
$9x + 3x = 18$
$12x = 18$
$x = \frac{18}{12} = 1,5$.

Conclusion : Le côté des petits triangles doit mesurer 1,5 cm.