Analyse de l'énoncé : La modélisation géométrique au service du réel
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue une excellente introduction à la géométrie plane et à la modélisation pour un élève de Première Spécialité. L'enjeu ici n'est pas seulement d'appliquer une formule, mais de traduire une situation physique (la mesure de la hauteur d'un arbre par visée) en un schéma mathématique exploitable. En Première, cette compétence de modélisation est fondamentale : savoir passer d'un énoncé textuel à une figure géométrique avec des points nommés et des coordonnées (même implicites) est au cœur du programme.
Le problème met en scène un observateur (Teiki), un bâton et un arbre (le Pinus). La situation repose sur l'alignement de trois points : l'œil de l'observateur, le sommet du bâton et le sommet de l'arbre. Cette configuration crée deux triangles rectangles emboîtés, ce qui nous oriente immédiatement vers l'utilisation du théorème de Thalès ou de la trigonométrie (calcul de pentes).
Points de vigilance et notions de cours requises
- La ligne d'horizon (Référence) : Le piège classique réside dans la hauteur de l'œil de l'observateur. Le calcul ne doit pas se faire directement depuis le sol, mais à partir d'une ligne horizontale située à 1,60 m de hauteur.
- Calcul des distances cumulées : La distance entre l'œil et l'arbre n'est pas de 12 m, mais de 12 m + 1,2 m = 13,2 m.
- Unités de mesure : Toutes les données sont en mètres, mais il est impératif de rester cohérent tout au long du calcul.
- Raisonnement géométrique : Il faut justifier que les segments représentant le bâton et l'arbre sont parallèles car tous deux perpendiculaires au sol.
Correction détaillée et guide de résolution
Pour résoudre cet exercice, nous allons décomposer la figure en utilisant une ligne horizontale partant de l'œil de Teiki. Appelons $O$ l'œil de Teiki, $M$ le sommet du bâton et $T$ le sommet de l'arbre.
1. Schématisation et calcul des hauteurs relatives :
La partie du bâton située au-dessus de la ligne d'horizon de l'œil est : $h_{bâton} = 2 - 1,60 = 0,4$ m.
Notons $h_{arbre}$ la hauteur de l'arbre au-dessus de cette même ligne d'horizon.
2. Application du théorème de Thalès :
Les droites représentant le bâton et l'arbre sont verticales, elles sont donc parallèles. En considérant le triangle formé par l'œil, la ligne d'horizon et le sommet de l'arbre, on peut écrire l'égalité des rapports :
$\frac{h_{arbre}}{h_{bâton}} = \frac{\text{Distance œil-arbre}}{\text{Distance œil-bâton}}$
3. Calcul numérique :
$\frac{h_{arbre}}{0,4} = \frac{1,2 + 12}{1,2} = \frac{13,2}{1,2}$
Calculons le rapport de proportionnalité : $13,2 / 1,2 = 11$.
On en déduit : $h_{arbre} = 0,4 \times 11 = 4,4$ m.
4. Conclusion :
La hauteur totale du Pinus est la somme de sa hauteur au-dessus de la ligne d'horizon et de la hauteur de l'œil :
$H_{totale} = 4,4 + 1,60 = 6$ m.
L'arbre mesure donc exactement 6 mètres de haut.
Ouverture vers la Première Spécialité
En Première Spécialité, cet exercice peut être traité via la géométrie repérée. En plaçant l'œil de Teiki à l'origine $(0; 1,6)$ dans un repère orthonormé, on peut déterminer l'équation de la droite (la ligne de visée) passant par le point du bâton $(1,2; 2)$. L'équation de cette droite permet ensuite de trouver l'ordonnée du point d'abscisse $x = 13,2$, correspondant à la position du Pinus.