Analyse de l'énoncé et enjeux statistiques

Cet exercice porte sur l'étude d'une série statistique discrète. En classe de Première Spécialité, ces notions constituent le socle nécessaire pour aborder les variables aléatoires. L'objectif est d'extraire des indicateurs de position (moyenne, médiane) et de dispersion (étendue) à partir d'un tableau d'effectifs. La série concerne 29 élèves, ce qui correspond à un effectif total impair ($N=29$), facilitant la détermination de la médiane.

Points de vigilance et rappels de cours

• Moyenne pondérée : Elle se calcule par la somme des produits (valeur × effectif) divisée par l'effectif total. Attention aux erreurs de saisie sur la calculatrice.
• Médiane : C'est la valeur qui partage la série en deux groupes de même effectif. Pour $N$ impair, c'est la $(rac{N+1}{2})$-ème valeur.
• Étendue : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
• Fréquences cumulées : Elles sont indispensables pour situer la médiane sans lister toutes les données.

Correction détaillée

1. Plantules ≤ 12 cm : On additionne les effectifs pour les tailles 0, 8 et 12 cm : $1 + 2 + 2 = 5$ plantules.

2. Étendue : $V_{max} - V_{min} = 22 - 0 = 22$ cm.

3. Moyenne : $M = \frac{0 \times 1 + 8 \times 2 + 12 \times 2 + 14 \times 4 + 16 \times 2 + 17 \times 2 + 18 \times 3 + 19 \times 3 + 20 \times 4 + 21 \times 4 + 22 \times 2}{29} = \frac{481}{29} \approx 16,6$ cm.

4. Médiane : $N=29$. La médiane est la $15^{ème}$ valeur. En calculant les effectifs cumulés : (1, 3, 5, 9, 11, 13, 16). La $15^{ème}$ valeur se trouve dans la colonne des 18 cm. Interprétation : Au moins 50% des plantules mesurent 18 cm ou moins, et au moins 50% mesurent 18 cm ou plus.

5. Pourcentage de réussite : Taille ≥ 14 cm. Effectif = $29 - 5$ (ceux ≤ 12 cm) = 24. Pourcentage = $(24/29) \times 100 \approx 82,8$ %.

6. Ajout de la donnée du professeur : L'effectif devient $N=30$. La médiane est la moyenne entre la $15^{ème}$ et la $16^{ème}$ valeur. Dans la série initiale, les $14^{ème}$, $15^{ème}$ et $16^{ème}$ valeurs sont toutes égales à 18. Qu'on ajoute une valeur inférieure, égale ou supérieure à 18, les nouvelles $15^{ème}$ et $16^{ème}$ positions tomberont obligatoirement sur la valeur 18. La médiane reste donc 18.