Introduction aux notions du Brevet 2025

L'exercice 4 du sujet de Polynésie 2025 est un classique incontournable du Brevet des collèges. Il mobilise trois compétences fondamentales du cycle 4 : le calcul littéral, la manipulation des fonctions affines et la résolution d'équations du premier degré. L'objectif est de transformer un programme de calcul narratif en une expression algébrique, puis d'en étudier la représentation graphique. Ce type d'exercice évalue la capacité de l'élève à passer d'un langage (le français) à un autre (les mathématiques).

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Vérification numérique (Question 1)

La première étape consiste à tester le programme avec une valeur entière. En choisissant $5$ comme nombre de départ :

• Étape 1 : $5 + 4 = 9$
• Étape 2 : $5 - 2 = 3$
• Étape 3 : Multiplication des résultats : $9 \times 3 = 27$
• Étape 4 : Soustraction du carré de départ : $27 - 5^2 = 27 - 25 = 2$.

Le résultat est bien $2$. Cette question est une mise en confiance : elle permet de s'assurer que le fonctionnement du programme est compris avant d'injecter des variables.

2. Modélisation algébrique (Question 2)

C'est ici que le calcul littéral intervient. En prenant $x$ comme variable :

• L'expression correcte est la C : $(x + 4)(x - 2) - x^2$.
• Pourquoi ? Les parenthèses sont obligatoires pour respecter la priorité de la multiplication sur les sommes intermédiaires.

Pour démontrer que le résultat s'écrit $2x - 8$, il faut développer l'expression :

$(x + 4)(x - 2) - x^2 = x \times x - 2x + 4x - 8 - x^2$

$= x^2 + 2x - 8 - x^2 = 2x - 8$.

On remarque que les termes en $x^2$ s'annulent, transformant une expression du second degré en une fonction du premier degré.

3. Étude de la fonction f (Question 3)

La fonction $f(x) = 2x - 8$ est une fonction affine de la forme $ax + b$. Sa représentation est une droite.

• Représentation 1 : Éliminée car c'est une courbe (parabole), typique d'une fonction du second degré.
• Représentation 2 : Éliminée car la droite descend (pente négative). Ici, le coefficient directeur $a = 2$ est positif, la droite doit donc monter.
• Représentation 3 : C'est la bonne. Elle passe par l'ordonnée à l'origine $-8$ (quand $x=0$, $y=-8$).

L'image de $4$ se calcule par $f(4) = 2 \times 4 - 8 = 0$. Graphiquement, cela correspond au point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.

4. Résolution d'équation (Question 4)

Chercher le nombre de départ pour obtenir $100$ revient à résoudre l'équation :

$2x - 8 = 100$

$2x = 100 + 8 = 108$

$x = 108 / 2 = 54$.

Il faut donc choisir $54$ au départ.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente réside dans l'oubli des parenthèses lors de la mise en équation. Sans elles, la priorité opératoire fausse tout le résultat. De même, lors du développement $(x+4)(x-2)$, attention aux signes ! Un $-2$ mal multiplié transforme un $+2x$ en $-6x$ très rapidement. Enfin, pour l'analyse graphique, ne confondez pas l'image (l'axe vertical) et l'antécédent (l'axe horizontal).

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :

• Détaillez chaque étape du calcul numérique en écrivant les calculs intermédiaires.
• Pour le développement, montrez la double distributivité étape par étape.
• Pour l'explication graphique, utilisez des termes précis : "coefficient directeur positif", "ordonnée à l'origine", "droite non-verticale".
• Encadrez vos résultats finaux pour faciliter la lecture du correcteur.