Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'initialement posé lors d'une session de Brevet en 2013, constitue un socle fondamental pour le programme de Première Spécialité. Il traite de la modélisation d'une situation géométrique par une équation algébrique de premier degré. Dans le cadre du programme de spécialité, cette compétence est le prérequis indispensable à l'étude des fonctions et à l'optimisation (via la dérivation).

L'objectif est de manipuler les formules de volumes du pavé droit et de la pyramide pour établir une égalité. Ce type de problème permet de vérifier la maîtrise des expressions littérales et la capacité à isoler une variable inconnue dans une équation linéaire.

Points de vigilance (Notions de cours)

• Formules fondamentales : Il ne faut pas confondre le volume d'un prisme (Base × Hauteur) avec celui d'un solide à pointe (1/3 × Base × Hauteur).
• Calcul de l'aire de base : La base étant ici un carré de côté 20 cm, l'aire est $A = c^2 = 400$ cm².
• Conversion et Unités : Bien que toutes les données soient ici en centimètres, il est toujours essentiel de vérifier la cohérence des unités pour éviter des erreurs sur les puissances de 10.
• Rigueur algébrique : Lors de la résolution de l'équation $\frac{400h}{3} = 3200$, veillez à multiplier par l'inverse de la fraction pour isoler $h$ proprement.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Volume du pavé moussant :

Le pavé est un parallélépipède rectangle de dimensions $20 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} \times 8 \text{ cm}$.
On applique la formule : $V_{pavé} = L \times l \times h = 20 \times 20 \times 8 = 3200 \text{ cm}^3$.

2. Volume de la pyramide moussante :

La pyramide a une base carrée de côté $20 \text{ cm}$. L'aire de cette base est $B = 20 \times 20 = 400 \text{ cm}^2$.
Le volume est donné par $V_{pyramide} = \frac{B \times h}{3}$.
En remplaçant par les valeurs, on obtient : $V_{pyramide} = \frac{400 \times h}{3} = \frac{400h}{3} \text{ cm}^3$.

3. Calcul de la hauteur $h$ pour l'égalité des volumes :

On cherche $h$ tel que $V_{pyramide} = V_{pavé}$, soit :
$\frac{400h}{3} = 3200$.
En multipliant par $3$ des deux côtés : $400h = 9600$.
En divisant par $400$ : $h = \frac{9600}{400} = \frac{96}{4} = 24$.

Conclusion : La hauteur de la pyramide doit être de $24 \text{ cm}$ pour que les deux volumes soient identiques.

Approche 'Spécialité Mathématiques'

Pour un élève de Première, cet exercice peut être vu comme une introduction aux fonctions affines. On définit $f(h) = \frac{400}{3}h$. Résoudre l'exercice revient à trouver l'antécédent de $3200$ par la fonction $f$. Cette base de modélisation est cruciale pour aborder plus tard les problèmes d'extremums où l'on chercherait, par exemple, la hauteur minimisant la surface totale du coffret cadeau.