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Exercice Première Spécialité - 2013 - Ex 6 : Étude d'une aire et Second degré

1 juin 2013 Troisième (Brevet)

Révise le Second Degré avec cet exercice classique ! 🚀

Tu veux maîtriser la modélisation de fonctions et comprendre comment optimiser une aire ? Cet exercice est fait pour toi !

✅ Apprends à passer de la géométrie à l'algèbre.
📈 Développe tes compétences en lecture graphique et analyse de paraboles.
🎯 Comprends enfin pourquoi le carré est le rectangle parfait.

Un incontournable pour consolider tes bases en Première Spécialité et briller lors de tes prochains DS ! 💎

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Analyse de l'énoncé : La modélisation au cœur du problème

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2013, constitue une introduction parfaite au chapitre sur le second degré en classe de Première Spécialité. Il traite de l'optimisation de l'aire d'un rectangle à périmètre constant (31 cm). En mathématiques, la transition entre une situation géométrique concrète et une expression algébrique est une compétence fondamentale du programme.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis sont indispensables :

Définition du périmètre : Comprendre que P = 2(L + l) implique que la somme de deux côtés consécutifs est égale au demi-périmètre (ici 15,5).
Modélisation fonctionnelle : Savoir transformer une relation géométrique en fonction f(x).
Le second degré : Identifier que f(x) = x(15,5 - x) est une forme factorisée d'un polynôme du second degré de la forme ax² + bx + c.
Propriétés de la parabole : Savoir que le maximum d'une fonction du second degré dont le coefficient 'a' est négatif se situe au sommet de la parabole (abscisse -b/2a).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Expression de l'aire : Si le périmètre est de 31 cm, alors AB + BC = 31 / 2 = 15,5 cm. Si on pose AB = x, alors BC = 15,5 - x. L'aire du rectangle ABCD est donc donnée par la multiplication de ses deux dimensions : A(x) = x * (15,5 - x).

2. Analyse de la fonction : La fonction f(x) = 15,5x - x² est une fonction polynomiale du second degré avec a = -1 et b = 15,5.
Pour f(4) : f(4) = 4 * (15,5 - 4) = 4 * 11,5 = 46.
Pour l'antécédent de 52,5 : On vérifie f(5) = 5 * (15,5 - 5) = 5 * 10,5 = 52,5. Le calcul confirme que 5 est bien un antécédent.

Optimisation et Géométrie

La question 3 nous demande une lecture graphique pour trouver l'aire maximale. On observe que le sommet de la courbe se situe aux alentours de x = 7,75.
Calcul théorique (Première Spé) : Le maximum est atteint pour x = -b / (2a) = -15,5 / (2 * -1) = 7,75.
Lorsque AB = 7,75 cm, la largeur BC vaut également 15,5 - 7,75 = 7,75 cm. Le rectangle est alors un carré. C'est un résultat classique : à périmètre constant, c'est le carré qui possède l'aire la plus grande (ici environ 60 cm²).