Introduction aux notions clés du Brevet

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2023 (Zone Amérique du Sud) est un modèle de polyvalence. Il mobilise plusieurs domaines du programme de 3ème : la géométrie plane (aires et périmètres), le calcul littéral, la modélisation par des fonctions et l'utilisation d'outils numériques comme le tableur. L'objectif principal est d'étudier comment la modification d'une dimension géométrique (la longueur $AE = x$) impacte l'aire totale d'un polygone. C'est un exercice de type 'problème avec variable' qui prépare idéalement à la seconde.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice est structuré en deux parties : une approche numérique concrète, puis une généralisation algébrique.

Première partie : Cas concret ($AE = 3$ cm)

Dans cette partie, on fixe la valeur de la variable. Le triangle $AEF$ est rectangle et isocèle en $A$. Puisque $AE = 3$ cm, alors $AF = 3$ cm également. L'aire d'un triangle rectangle est donnée par la formule : $\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}$. Ici, l'aire de $AEF$ est $\frac{3 \times 3}{2} = 4,5$ cm².

Pour en déduire l'aire du polygone $FELKJIHG$, il faut comprendre que ce polygone est ce qui reste de la feuille rectangulaire $ABCD$ après avoir retiré quatre triangles identiques. L'aire du rectangle $ABCD$ est $10 \times 8 = 80$ cm². L'aire totale retirée est $4 \times 4,5 = 18$ cm². L'aire du polygone est donc $80 - 18 = 62$ cm².

Deuxième partie : Modélisation par une fonction

Ici, on remplace la valeur 3 par une variable $x$. L'aire du triangle $AEF$ devient $\frac{x \times x}{2} = \frac{x^2}{2}$. Comme il y a quatre triangles, l'aire totale soustraite est $4 \times \frac{x^2}{2} = 2x^2$. On retrouve bien l'expression $f(x) = 80 - 2x^2$. Cette étape de modélisation est cruciale : elle transforme un problème géométrique en un problème d'analyse de fonction.

Le Tableur et la Formule

La question sur le tableur teste ta connaissance de la syntaxe informatique. Pour calculer $f(x)$ en fonction de $x$ situé en ligne 1, la formule en B2 doit être : =80-2*B1^2 ou =80-2*B1*B1. N'oublie jamais le signe '=' qui indique au logiciel qu'il s'agit d'un calcul.

Analyse Graphique et Calcul Exact

La courbe représentative de $f$ n'est pas une droite, c'est une parabole tournée vers le bas. Par conséquent, la fonction n'est pas affine (car une fonction affine est représentée par une droite et s'écrit sous la forme $ax + b$).

Pour trouver $x$ tel que l'aire soit égale à 60 cm², la lecture graphique donne une valeur approchée autour de $x \approx 3,2$. Mais le calcul permet d'être précis. On résout l'équation :
$80 - 2x^2 = 60$
$-2x^2 = -20$
$x^2 = 10$
Puisque $x$ est une longueur positive, $x = \sqrt{10} \approx 3,16$ cm.

Les Pièges à Éviter

1. **Oubli des 4 triangles** : L'erreur la plus fréquente est de ne soustraire qu'un seul triangle au lieu de quatre. Relis bien l'énoncé qui précise 'on coupe les quatre coins'.
2. **Nature de la fonction** : Ne confonds pas $x^2$ et $2x$. Une fonction avec du $x^2$ est du second degré, jamais affine.
3. **Unités** : N'oublie pas de préciser que l'aire est en cm² et la longueur $x$ en cm.
4. **Tableur** : Dans une cellule de tableur, on utilise les références (comme B1) et non la lettre $x$.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points, soigne ta présentation. Annonce chaque formule utilisée (ex: 'On sait que l'aire d'un rectangle est $L \times l$'). Pour la lecture graphique, trace des pointillés sur ton sujet pour montrer au correcteur comment tu as trouvé ta valeur. Pour le calcul final, n'oublie pas de justifier pourquoi tu ne gardes que la solution positive de $x^2 = 10$ (une longueur ne peut être négative).