Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité (orienté vers la modélisation concrète) propose de comparer deux stratégies financières pour l'acquisition d'un véhicule : l'achat intégral avec frais d'assurance réduits et la location longue durée (LLD) avec assurance comprise. L'enjeu est de déterminer le point d'équilibre, c'est-à-dire le moment où le coût cumulé de l'achat devient inférieur à celui de la location.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser :

• La distinction entre une fonction linéaire (modélisant la location : $g(x) = 425x$) et une fonction affine (modélisant l'achat : $f(x) = 22400 + 75x$).
• L'utilisation d'un tableur : savoir traduire une relation mathématique en formule (utilisation du symbole '=' et des références de cellules).
• La lecture graphique d'intersections : identifier le point où les courbes se croisent pour interpréter un changement de domination entre deux options.

Guide de résolution et Correction

Partie A : Approche arithmétique

• 1. Calcul de la première année : L'option Achat comprend le prix initial ($22400$) et 12 mois d'assurance ($12 \times 75 = 900$). Total : $22400 + 900 = 23300$ €.
• 2. Économie après 36 mois :
  Option Achat : $22400 + 36 \times 75 = 25100$ €.
  Option Location : $36 \times 425 = 15300$ €.
  Économie : $25100 - 15300 = 9800$ €. À court terme, la location est bien plus avantageuse.
• 3. Formule Tableur : En cellule B3, on multiplie le nombre de mois (cellule B1) par le tarif mensuel. La formule est =B1*425.

Partie B : Modélisation fonctionnelle

• 4. Expression de f(x) : La dépense pour l'achat est composée d'un coût fixe de $22400$ et d'un coût variable de $75$ par mois. On obtient $f(x) = 75x + 22400$.
• 5. Lecture graphique : L'option Achat devient avantageuse dès que la courbe $C_f$ (en bleu/teal) passe en dessous de la droite $C_g$ (en rouge). Sur le graphique, l'intersection se situe à $x = 64$ mois. Par conséquent, l'option Achat est la plus avantageuse à partir du 65ème mois (ou après 64 mois révolus).