Introduction aux notions du sujet

Cet exercice issu du Brevet 2023 (Caledonie) est un cas pratique exemplaire mêlant la géométrie pure et les grandeurs composées. Les élèves de 3ème sont ici confrontés à une situation réelle : l'isolation thermique d'une toiture. Pour réussir, il est impératif de mobiliser cinq compétences clés : la trigonométrie (calcul de longueurs via les angles), le théorème de Pythagore (calcul de longueurs dans un triangle rectangle), le calcul d'aires et périmètres, la gestion des volumes et l'utilisation des grandeurs composées (notamment la masse volumique ou densité). L'énoncé nous place dans une configuration géométrique complexe où les points sont alignés et les segments perpendiculaires, formant plusieurs triangles rectangles imbriqués.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Justification de la longueur DE

Dans cet exercice, la première étape consiste à bien lire le plan de profil. On sait que $BD = 4,3$ m et que $EB$ est égal à la hauteur du mur $AC$, soit $2,5$ m, car les points $D, E, B$ sont alignés verticalement et que $AC$ est parallèle à $EB$. Pour trouver $DE$, il suffit d'effectuer une soustraction de segments : $DE = BD - EB = 4,3 - 2,5 = 1,8$ m. C'est une question de lecture graphique et de soustraction de longueurs simple, mais elle est la base de tout l'exercice.

2. Calcul de la longueur DF via la Trigonométrie

Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$. On connaît l'angle $\widehat{EFD} = 30^\circ$ et le côté opposé $DE = 1,8$ m. Nous cherchons l'hypoténuse $DF$. La formule trigonométrique adéquate est le sinus : $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$. Ainsi, $\sin(30^\circ) = \frac{1,8}{DF}$. En isolant $DF$, on obtient $DF = \frac{1,8}{\sin(30^\circ)}$. Comme $\sin(30^\circ) = 0,5$, le calcul donne $DF = 1,8 / 0,5 = 3,6$ m. Il est crucial de vérifier que votre calculatrice est bien en mode degrés.

3. Gestion de l'approvisionnement : Aires et Quantités

Le toit de la terrasse est un rectangle de $12$ m par $3,6$ m. L'aire se calcule par $12 \times 3,6 = 43,2$ m². Un rouleau de laine de roche couvre $6$ m². Le nombre de rouleaux nécessaires est $43,2 / 6 = 7,2$. Dans la réalité, on ne peut pas acheter 0,2 rouleau. Matthieu doit donc acheter $8$ rouleaux. Attention à ne pas arrondir à l'unité inférieure !

4. Théorème de Pythagore pour le toit habitable

Pour le segment $CD$, on travaille dans le triangle $CDE$ rectangle en $E$. On connaît $DE = 1,8$ m et $CE = AB = 8$ m. D'après le théorème de Pythagore : $CD^2 = CE^2 + DE^2$, soit $CD^2 = 8^2 + 1,8^2 = 64 + 3,24 = 67,24$. En prenant la racine carrée, $\sqrt{67,24} = 8,2$ m. La rédaction doit être rigoureuse : nommer le triangle, préciser qu'il est rectangle et citer le théorème.

5. Volumes et Grandeurs Composées : La Masse de Ouate

Cette dernière partie traite de la masse volumique. L'aire du toit est de $12 \times 8,2 = 98,4$ m². L'épaisseur est de $10$ cm, soit $0,1$ m (conversion indispensable). Le volume est donc $98,4 \times 0,1 = 9,84$ m³. Sachant que la densité est de $40$ kg/m³, la masse totale est $9,84 \times 40 = 393,6$ kg.

Les Pièges à Éviter

Le piège classique réside dans les unités. L'épaisseur de la ouate est donnée en centimètres ($10$ cm) alors que toutes les autres mesures sont en mètres. Ne pas convertir avant de calculer le volume mènerait à un résultat $100$ fois trop élevé. De plus, pour la trigonométrie, n'utilisez pas le cosinus si vous n'avez pas le côté adjacent, restez sur les données sûres (le côté opposé calculé en Q1).

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez vos réponses : 1. Données (Je sais que...), 2. Propriété (J'utilise le théorème de...), 3. Calcul, 4. Conclusion (Phrase réponse avec unité). Même si vous n'arrivez pas au bout d'un calcul de volume, posez votre raisonnement sur le papier, car les correcteurs valorisent les traces de recherche.