Introduction aux concepts : Géométrie plane et Algorithmique

Cet exercice issu du Brevet 2023 (Nouvelle-Calédonie) est un cas d'école mêlant deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : la géométrie plane (étude des polygones réguliers) et l'algorithmique via l'interface Scratch. La maîtrise des polygones réguliers, comme l'hexagone, demande une compréhension fine des angles intérieurs et extérieurs. Parallèlement, le volet algorithmique sollicite des compétences en logique séquentielle et en manipulation de variables. Savoir comment une figure géométrique se traduit en instructions de code est essentiel pour valider les 20 points souvent attribués à l'informatique lors de l'examen national du Diplôme National du Brevet (DNB).

Analyse Méthodique de la Question 1 : L'angle et le Bloc Hexagone

La première partie de l'exercice nous interroge sur la structure d'un hexagone régulier. Un hexagone régulier possède 6 côtés de même longueur et 6 angles intérieurs de $120\degres$.

1.a. Calcul de l'angle complémentaire

On nous demande de calculer la mesure de l'angle $\widehat{XBC}$. L'énoncé précise que les points $A, B$ et $X$ sont alignés. Cela signifie que l'angle $\widehat{ABX}$ est un angle plat, mesurant donc $180\degres$. Puisque l'angle intérieur de l'hexagone $\widehat{ABC}$ mesure $120\degres$, l'angle $\widehat{XBC}$ est son supplément. Le raisonnement est le suivant : $180\degres - 120\degres = 60\degres$. Cet angle de $60\degres$ correspond physiquement à l'angle de rotation que doit effectuer le lutin Scratch pour passer d'un côté à l'autre de la figure. C'est un concept clé : pour tracer un polygone fermé, la somme des angles de rotation doit être de $360\degres$. Ici, $6 \times 60\degres = 360\degres$.

1.b. Compléter le script Scratch

Pour le bloc 'Hexagone', nous devons définir deux paramètres essentiels dans la boucle 'Répéter'.
1. Le nombre de répétitions : un hexagone ayant 6 côtés, on doit répéter l'action 6 fois.
2. L'angle de rotation : comme démontré précédemment, le lutin doit tourner de l'angle extérieur de la figure pour changer de direction. On inscrit donc 60 degrés dans le champ de rotation.

Analyse Méthodique de la Question 2 : La boucle itérative et l'homothétie

La seconde partie introduit une variable dynamique nommée longueur. Le script principal commence par orienter le lutin vers la droite ($90\degres$) et initialise la longueur à $32$ pixels.

Étapes du script

Le script utilise une boucle 'répéter 5 fois'. À chaque itération :
1. Il appelle le bloc Hexagone pour tracer une figure avec la valeur actuelle de la variable.
2. Il modifie la variable par une multiplication : mettre longueur à longueur * 1.5.
Cela signifie que chaque nouvel hexagone aura des côtés 50% plus grands que le précédent. C'est une croissance géométrique. On peut calculer les premières valeurs : $32$, puis $32 \times 1.5 = 48$, puis $48 \times 1.5 = 72$, et ainsi de suite.

Identification du dessin correspondant

Le script trace donc 5 hexagones.
- Le Dessin 1 montre des hexagones de même taille décalés horizontalement. Cela ne correspond pas car notre script augmente la taille et ne contient pas d'instruction de déplacement relatif entre les hexagones (pas de 'avancer' en dehors du bloc Hexagone).
- Le Dessin 3 montre des hexagones qui grandissent mais se décalent selon un axe oblique.
- Le Dessin 2 est la réponse correcte. Les hexagones sont imbriqués et grandissent à partir d'un point de départ commun, ce qui correspond exactement à l'exécution d'une boucle de traçage où seule la variable de dimension change sans modification des coordonnées $(x, y)$ de départ du lutin.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente au Brevet est de confondre l'angle intérieur du polygone ($120\degres$) avec l'angle de rotation dans Scratch ($60\degres$). Rappelez-vous toujours que le lutin 'tourne' de l'angle supplémentaire. Un autre piège réside dans le compte des répétitions : ne confondez pas le nombre de côtés (6 pour l'hexagone) avec le nombre total de figures tracées dans le script principal (5 fois ici). Enfin, vérifiez bien l'unité de la variable : ici, pas d'unité spécifique, mais restez cohérent avec le facteur multiplicateur de $1.5$ qui implique un agrandissement.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir tous les points, ne vous contentez pas de donner le résultat.
1. Pour le calcul d'angle, citez la propriété : 'Les points A, B, X étant alignés, l'angle $\widehat{ABX}$ est plat'.
2. Pour Scratch, expliquez que la rotation de $60\degres$ vient de la division $360 / 6$.
3. Pour le choix du dessin, justifiez par l'absence d'instruction de mouvement entre les hexagones et l'augmentation progressive de la variable longueur.