Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'extrait d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane : l'application des théorèmes de configuration (Thalès, Pythagore) et l'utilisation de la trigonométrie dans le triangle rectangle. L'enjeu ici est de structurer un raisonnement en plusieurs étapes, où chaque résultat intermédiaire est indispensable pour la question suivante.

Points de vigilance et notions requises

• Configuration de Thalès : Il est crucial de justifier d'abord le parallélisme des droites (DE) et (BC) avant d'appliquer les rapports de proportionnalité.
• Trigonométrie : Le choix de la bonne relation (SOH CAH TOA) est déterminant. Ici, la connaissance du côté opposé et la recherche du côté adjacent orientent vers la tangente.
• Rédaction : En Première Spécialité, la rigueur dans la citation des théorèmes et l'alignement des points est attendue.

Correction détaillée

1. Calcul de AB : Dans le triangle ABC rectangle en B, d'après le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Soit $50^2 = AB^2 + 30^2$, donc $AB^2 = 2500 - 900 = 1600$. On en déduit $AB = \sqrt{1600} = 40$ m.

2. Parallélisme (DE) // (BC) : Les droites (DE) et (BC) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AE) (car les triangles ADE et ABC sont rectangles en E et B respectivement, et les points A, B, E sont alignés). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (DE) // (BC).

3. Calcul de DE : Dans les triangles ABC et ADE, les points A, B, E et A, C, D sont alignés et (DE) // (BC). D'après le théorème de Thalès : $AD/AC = DE/BC$. Soit $70/50 = DE/30$. On obtient $DE = (70 \times 30) / 50 = 2100 / 50 = 42$ m.

4. Calcul de EM : Dans le triangle DEM rectangle en E, $\tan(\widehat{DME}) = DE / EM$. Ainsi, $\tan(60^\circ) = 42 / EM$, d'où $EM = 42 / \tan(60^\circ)$. Avec $\tan(60^\circ) \approx 1,732$, on trouve $EM \approx 24,2$ m.

5. Aire du triangle AMD : L'aire se calcule par la formule $(\text{base} \times \text{hauteur}) / 2$. Prenons [AM] comme base et [DE] comme hauteur. D'abord, calculons AE par Thalès : $AE/AB = AD/AC \Rightarrow AE = 40 \times (70/50) = 56$ m. Alors $AM = AE - EM = 56 - 24,2 = 31,8$ m. L'aire est donc $(31,8 \times 42) / 2 = 667,8 \text{ m}^2$.