Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, extrait de la session 2025 du sujet Asie, constitue un excellent entraînement pour consolider les bases de la géométrie plane. Bien que centré sur des notions de collège (Pythagore, Thalès), il s'inscrit parfaitement dans la révision des fondamentaux nécessaires en Première Spécialité, notamment pour la manipulation des rapports de proportionnalité et la compréhension des homothéties et des agrandissements-réductions.
Points de vigilance et prérequis
- Théorème de Pythagore : Savoir identifier l'hypoténuse dans un triangle rectangle pour calculer une longueur manquante.
- Théorème de Thalès : Maîtriser les configurations dites 'en papillon' ou 'imbriquées' et savoir rédiger les conditions d'alignement et de parallélisme.
- Triangles semblables : Comprendre que le rapport des aires est le carré du rapport de similitude (si le rapport des longueurs est k, le rapport des aires est k²).
- Précision des calculs : Attention aux arrondis demandés (ici au millimètre près).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la longueur DE : Dans le triangle CDE rectangle en D, d'après le théorème de Pythagore : CE² = CD² + DE². On a donc DE² = CE² - CD². Soit DE² = 29,1² - 21,6² = 846,81 - 466,56 = 380,25. D'où DE = √380,25 = 19,5 cm.
2. Aire du triangle CDE : L'aire d'un triangle rectangle est donnée par (Base × Hauteur) / 2. Ici : Aire = (CD × DE) / 2 = (21,6 × 19,5) / 2 = 210,6 cm².
3. Calcul de GF (Théorème de Thalès) : Les points G, C, E d'une part et F, C, D d'autre part sont alignés. Les droites (GF) et (DE) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès : GF/DE = CF/CD. On en déduit : GF = (CF × DE) / CD = (17,2 × 19,5) / 21,6 ≈ 15,527. La longueur GF arrondie au millimètre est donc 15,5 cm.
4. Triangles semblables et rapport d'aires :
a) On vérifie le rapport : 210,6 / 9 = 23,4. L'aire du triangle ABC est bien égale à 1/9 de celle de CDE.
b) Puisque les triangles sont semblables et que le rapport des aires est k² = 1/9, le rapport de réduction des longueurs est k = √(1/9) = 1/3. La longueur AB, homologue à DE, se calcule par : AB = k × DE = 1/3 × 19,5 = 6,5 cm.