Analyse de l'énoncé

Cet exercice de probabilités, bien que basé sur un modèle de tirage classique dans des urnes, sollicite des compétences transversales en arithmétique. Il s'agit d'une excellente révision pour les élèves de Première Spécialité afin de consolider la notion de probabilité simple avant d'aborder les probabilités conditionnelles. L'énoncé demande de manipuler des ensembles finis (urnes A et B) et de caractériser leurs éléments par des propriétés numériques : parité, primalité, et divisibilité.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser les points suivants :

• Équiprobabilité : Les boules étant indiscernables au toucher, la probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.
• Arithmétique de base : Identifier correctement les nombres premiers (2, 5, 17 dans l'urne B) et les multiples de 6.
• Comparaison de probabilités : Savoir comparer des fractions de dénominateurs différents, notamment dans la question 5 où l'ajout d'une boule modifie à la fois le numérateur et le dénominateur.

Correction détaillée

1. Probabilité d'un nombre pair dans l'urne A :
L'urne A contient 6 boules. Les nombres pairs sont : 10, 12, 24, 30 (4 boules).
La probabilité est $P(Pair_A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

2. Justification de la probabilité d'un nombre premier dans l'urne B :
L'urne B contient 9 boules. Les nombres premiers sont : 2, 5 et 17 (3 boules).
La probabilité est $P(Premier_B) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. La justification est donc vérifiée.

3. Multiples de 6 :
Urne A : {12, 24, 30} soit 3 boules.
Urne B : {6, 18} soit 2 boules.
C'est l'urne A qui contient le plus grand nombre de multiples de 6.

4. Probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 :
Dans l'urne A : {24, 30} soit 2 boules sur 6. $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Dans l'urne B : {21, 22, 25} soit 3 boules sur 9. $P = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
La probabilité est identique (1/3) pour les deux urnes.

5. Ajout d'une boule 50 :
Urne A : 7 boules au total, dont 3 sont $\ge 20$ (24, 30, 50). $P_A = \frac{3}{7} \approx 0,428$.
Urne B : 10 boules au total, dont 4 sont $\ge 20$ (21, 22, 25, 50). $P_B = \frac{4}{10} = 0,4$.
Comme $\frac{3}{7} \neq \frac{4}{10}$, la probabilité n'est plus la même.