Analyse de l'énoncé : Fonctions et cinématique
Cet exercice, bien que posé dans un contexte de fin de collège, constitue une base fondamentale pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite de la notion de fonction numérique modélisant une grandeur physique : la distance en fonction du temps. En classe de Première, cet exercice est le point de départ de l'étude de la dérivation. En effet, la vitesse moyenne entre deux points correspond au taux de variation de la fonction, tandis que la vitesse instantanée correspondrait au nombre dérivé (la pente de la tangente en un point). L'analyse du graphique révèle une fonction affine par morceaux, ce qui permet d'étudier les variations de vitesse sur différents intervalles.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisées :
- Lecture graphique : Identifier les images et les antécédents sur un repère orthogonal, en faisant attention aux échelles parfois piégeuses.
- Proportionnalité : Savoir qu'une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine. Ici, la présence d'un palier (entre 30 et 40 min) indique une vitesse nulle, rompant la linéarité.
- Conversion d'unités : C'est le point le plus critique. Pour obtenir une vitesse en km/h à partir de minutes, il est impératif de diviser le temps par 60 ou d'utiliser le coefficient de conversion adéquat.
- Modélisation linéaire : Utiliser la formule d = v × t de manière fluide pour comparer deux trajectoires.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Proportionnalité : Non, la distance n'est pas proportionnelle au temps. Graphiquement, la courbe n'est pas une droite unique passant par l'origine. On observe notamment un segment horizontal entre la 30ème et la 40ème minute, signifiant que Malo est à l'arrêt.
2. Lecture graphique : Au bout de 20 minutes, on repère le point d'abscisse 20 sur l'axe des temps. Son ordonnée est 4,5. Malo a donc parcouru 4,5 km.
3. Temps pour 9 km : On repère 9 sur l'axe des ordonnées. L'antécédent correspondant est 50. Il a mis 50 minutes.
4. Vitesse moyenne : Malo parcourt 13,5 km en 80 minutes. Convertissons le temps en heures : 80 min = 80/60 h = 4/3 h. Vitesse = Distance / Temps = 13,5 / (4/3) = 13,5 × 0,75 = 10,125 km/h. Soit environ 10,1 km/h au dixième près.
5. Comparaison Louise et Hillal :
a) Temps de Louise : 13,5 / 12 = 1,125 h (soit 67,5 min).
Temps de Hillal : 13,5 / 10 = 1,35 h (soit 81 min).
Louise arrive la première.
b) Lorsque Louise arrive (t = 1,125 h), Hillal a parcouru : d = 10 × 1,125 = 11,25 km. La distance les séparant est : 13,5 - 11,25 = 2,25 km.