Analyse de l'énoncé : Algèbre et Modélisation

Cet exercice, issu du sujet Amérique du Nord 2025, propose une étude comparative de deux programmes de calcul. Sous une apparence simple, il mobilise des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité : la modélisation algébrique, la manipulation de polynômes et la résolution d'équations du second degré. L'objectif est de transformer des instructions textuelles ou graphiques en expressions littérales pour démontrer des propriétés générales.

Points de vigilance et notions de cours

• Modélisation : Transformer un programme de calcul en fonction f(x). Ne pas oublier les parenthèses lors de la multiplication de blocs.
• Développement et Réduction : Maîtriser la double distributivité pour l'analyse du Programme B.
• Second degré : Savoir résoudre une équation de la forme ax² + bx + c = 0 en utilisant le discriminant Δ ou les racines évidentes.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Analyse du Programme A :
Appliquons le programme au nombre x. Les étapes sont : x → 3x → 3x + 15 → (3x + 15)/3 = x + 5 → (x + 5) - x = 5.
On observe que pour toute valeur d'entrée, le résultat est constant. Ainsi, pour 4 ou -2, le résultat est bien 5. Cela justifie la question 3 : l'expression finale ne dépend plus de x.

2. Analyse du Programme B :
Soit x le nombre de départ. Le programme effectue : (x - 1) × (x - 6) + 5.
Pour x = 10 : (10 - 1) × (10 - 6) + 5 = 9 × 4 + 5 = 36 + 5 = 41.

3. Égalité des programmes (Question 5) :
Nous cherchons x tel que Programme B = Programme A, soit :
(x - 1)(x - 6) + 5 = 5.
En simplifiant par 5 de chaque côté, on obtient : (x - 1)(x - 6) = 0.
C'est une équation produit nul. Les solutions sont x = 1 et x = 6. Ce sont les deux seuls nombres pour lesquels les programmes fournissent le même résultat (5).