Analyse de l'énoncé et contexte pédagogique
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015 en Polynésie, pose les jalons fondamentaux des probabilités discrètes étudiées en classe de Première Spécialité. Il permet de manipuler un univers fini, de dénombrer des issues et de comprendre l'impact d'une modification de l'échantillon sur le calcul des probabilités. En Première, ces notions sont essentielles avant d'aborder les probabilités conditionnelles plus complexes et les variables aléatoires.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont mobilisées :
- L'équiprobabilité : L'énoncé précise que chaque jeton a la même chance d'être tiré, ce qui permet d'utiliser la formule fondamentale : P(A) = (nombre d'issues favorables) / (nombre d'issues possibles).
- La définition d'un multiple : Une erreur classique consiste à mal identifier les multiples de 5 (ici : 5, 5 et 20).
- L'évolution de l'univers : Dans la deuxième partie, le fait que Sarah garde un jeton modifie le dénominateur de la fraction (le nombre total de jetons passe de 8 à 7).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Analyse de la situation de Sarah
Le sac contient initialement 8 jetons : {5 ; 14 ; 26 ; 18 ; 5 ; 9 ; 18 ; 20}.
a. Probabilité de tirer un jeton « 18 » : Il y a deux jetons portant le nombre 18. La probabilité est donc de 2 sur 8, soit P = 2/8 = 1/4 = 0,25. En pourcentage, Sarah a 25 % de chances de tirer un 18.
b. Probabilité de tirer un multiple de 5 : Les multiples de 5 présents dans le sac sont 5, 5 et 20. Il y a donc 3 issues favorables. La probabilité est P = 3/8 = 0,375 (soit 37,5 %).
2. Analyse de la situation de Djamel (Tirage sans remise)
Sarah a tiré le jeton « 26 » et ne l'a pas remis dans le sac. L'univers des possibles est modifié. Il ne reste plus que 7 jetons dans le sac. Cependant, le nombre de jetons multiples de 5 n'a pas changé car le jeton « 26 » n'est pas un multiple de 5. Il reste donc toujours 3 jetons favorables (5, 5 et 20).
La nouvelle probabilité pour Djamel est donc de 3 sur 7. On compare 3/7 (environ 0,43) à 3/8 (0,375). La probabilité n'est donc pas la même : elle a augmenté car le nombre total de jetons a diminué alors que le nombre de jetons gagnants est resté constant.
Conclusion pour la Première Spécialité
Cet exercice illustre parfaitement la notion d'expérience aléatoire à deux épreuves sans remise. En Première, on pourrait modéliser cette situation par un arbre pondéré, où la deuxième branche verrait ses probabilités calculées sur un total de n-1. C'est une excellente introduction pour comprendre pourquoi P(B) peut changer selon qu'un événement A s'est produit ou non, jetant ainsi les bases des probabilités conditionnelles.