Introduction aux notions du Brevet 2023

Cet exercice, issu de la session 2023 du Brevet de Mathématiques (Métropole), est un modèle de polyvalence. Il balaye trois pans majeurs du programme de troisième : les fonctions (affines et linéaires), la résolution d'équations du premier degré, et les statistiques descriptives. En bonus, une question de géométrie dans l'espace vient tester vos connaissances sur le calcul de volume. C'est le type d'exercice "gain de points" par excellence, car il s'appuie sur une situation concrète : la gestion budgétaire d'une piscine.

Analyse Méthodique : Modélisation et Fonctions

L'exercice débute par une étude comparative de deux tarifs. C'est l'introduction classique aux fonctions.

Question 1 : Pour 10 entrées au Tarif A, le calcul est direct : $10 \times 5,90 = 59$ euros. Pour le Tarif B, n'oubliez pas d'ajouter la part fixe (l'abonnement) à la part variable : $10 \times 4,40 + 30 = 44 + 30 = 74$ euros. À ce stade, le Tarif A est plus avantageux.

Question 2 : La modélisation mathématique transforme ces tarifs en fonctions de la variable $x$ (le nombre d'entrées). Le Tarif A ne comporte qu'une part proportionnelle, c'est donc une fonction linéaire : $f(x) = 5,90x$. Le Tarif B inclut un coût de départ fixe, c'est donc une fonction affine : $g(x) = 4,40x + 30$. Savoir identifier ces deux types de fonctions est crucial pour le Brevet.

Résolution de l'Équation : Le Point de Rupture

Question 3 : On vous demande de résoudre $5,90x = 4,40x + 30$. Cette étape permet de trouver le "seuil de rentabilité". Pour résoudre cela :

• Isoler les termes en $x$ : $5,90x - 4,40x = 30$
• Simplifier : $1,50x = 30$
• Diviser pour trouver $x$ : $x = 30 / 1,50 = 20$

Interprétation : À partir de 20 entrées, les deux tarifs coûtent exactement la même chose. Au-delà de 20 entrées, l'abonnement du Tarif B devient plus rentable.

Analyse Statistique de la Fréquentation

Question 4 : La piscine fournit un tableau de données sur 12 mois. C'est une application directe du cours de statistiques.

La moyenne : Additionnez toutes les entrées du tableau (de 12 500 à 11 800) et divisez par l'effectif total (12 mois). La somme est de $144 600$. La moyenne est donc $144 600 / 12 = 12 050$ entrées par mois. La moyenne est un indicateur de tendance centrale.

L'étendue : C'est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale. Valeur max : 13 800 (octobre), valeur min : 10 200 (septembre). Étendue = $13 800 - 10 200 = 3 600$. Cela mesure la dispersion des données.

Géométrie : Le Volume du Pavé Droit

Question 5 : La dernière question sort du contexte financier pour s'intéresser au bassin. La piscine est un pavé droit (parallélépipède rectangle). La formule du volume est $V = Longueur \times largeur \times profondeur$.

En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $V = 50 \times 25 \times 3 = 3 750$ m³. Attention, vérifiez toujours que les unités sont identiques (ici tout est en mètres) avant de multiplier.

Les Pièges à Éviter

1. La confusion des fonctions : Ne confondez pas le coefficient directeur (prix par entrée) et l'ordonnée à l'origine (abonnement). $f(x) = ax + b$.

2. Les unités monétaires : Lors de la résolution de l'équation, gardez bien les deux chiffres après la virgule pour les centimes si nécessaire, même si ici le résultat tombe juste.

3. Erreur de calcul en stats : Une erreur de saisie sur la calculatrice lors de la somme des 12 mois est fréquente. Recommencez le calcul deux fois pour être sûr du total.

4. L'oubli de l'unité : Un volume s'exprime en unités cubes ($m^3$). Un prix s'exprime en euros.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir tous les points sur cet exercice :

• Citez explicitement la formule utilisée avant de faire le calcul (ex: "Moyenne = Somme des valeurs / Effectif total").
• Faites une phrase de conclusion pour chaque question, en reprenant les termes de l'énoncé.
• Présentez clairement la résolution de l'équation en alignant les signes "=".
• En géométrie, rappelez la formule du volume $V = L \times l \times h$.