Introduction aux notions d'Arithmétique au Brevet
Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges de Pondichéry en 2015, est un classique incontournable du programme de mathématiques de 3ème. Il porte sur l'arithmétique, et plus précisément sur les notions de diviseurs, de divisibilité et de calcul du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD). Dans le cadre de l'épreuve, l'arithmétique est souvent utilisée pour résoudre des problèmes concrets de répartition, comme ici avec un chocolatier préparant des assortiments de Pâques. Comprendre comment répartir équitablement des objets (\(\np{2622}\) œufs et \(\np{2530}\) poissons) sans laisser de reste est une compétence fondamentale qui nécessite une maîtrise parfaite de l'algorithme d'Euclide ou de la décomposition en facteurs premiers.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous place face à une situation de partage équitable. Le chocolatier veut créer des paquets identiques sans qu'il ne reste aucun chocolat. Mathématiquement, cela signifie que le nombre de paquets doit être un diviseur commun au nombre d'œufs et au nombre de poissons.
Question 1 : La possibilité de réaliser 19 paquets
Pour savoir si le chocolatier peut faire 19 paquets, il faut vérifier si le nombre 19 divise parfaitement les deux quantités de chocolats. Nous effectuons donc les divisions euclidiennes suivantes :
- Pour les œufs : \(\np{2622} / 19 = 138\). Le résultat est un nombre entier, donc 19 est bien un diviseur de \(\np{2622}\).
- Pour les poissons : \(\np{2530} / 19 \approx 133,15\). Ici, la division ne tombe pas juste (le reste n'est pas nul).
Comme 19 ne divise pas le nombre total de poissons (\(\np{2530}\)), il est impossible de réaliser 19 paquets respectant les conditions d'homogénéité et d'absence de reste. La justification doit impérativement montrer que l'un des deux calculs n'aboutit pas à un entier.
Question 2 : Le PGCD ou le plus grand nombre de paquets
La question nous demande le "plus grand nombre de paquets possible". En langage mathématique, cela revient à chercher le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de \(\np{2622}\) et \(\np{2530}\). Pour le déterminer, l'utilisation de l'algorithme d'Euclide est la méthode la plus efficace et la plus rapide :
- \(\np{2622} = 1 \times \np{2530} + 92\)
- \(\np{2530} = 27 \times 92 + 46\)
- \(92 = 2 \times 46 + 0\)
Le dernier reste non nul est 46. Par conséquent, \(PGCD(\np{2622}, \np{2530}) = 46\). Le chocolatier peut donc réaliser au maximum 46 paquets.
Composition de chaque paquet
Une fois le nombre de paquets identifié, il faut calculer la quantité de chocolats par sachet :
- Nombre d'œufs : \(\np{2622} / 46 = 57\)
- Nombre de poissons : \(\np{2530} / 46 = 55\)
Chaque paquet contiendra donc exactement 57 œufs et 55 poissons en chocolat.
Les Pièges à éviter
Le premier piège est de ne tester la division que pour un seul des deux chiffres dans la question 1. Un diviseur doit être commun pour être valide. Le second piège concerne l'oubli de la phrase de conclusion. Au Brevet, une réponse sans unité ou sans explication textuelle peut entraîner une perte de points. Enfin, lors du calcul du PGCD, une erreur de calcul dans les soustractions successives ou les divisions de l'algorithme d'Euclide est fatale. Utilisez toujours votre calculatrice pour vérifier les divisions euclidiennes et assurez-vous que chaque ligne de l'algorithme respecte l'égalité \(a = bq + r\).
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, votre rédaction doit être structurée. Commencez par définir ce que vous cherchez : "Le nombre de paquets doit diviser \(\np{2622}\) et \(\np{2530}\). On cherche donc le PGCD de ces deux nombres." Citer explicitement le nom de la méthode utilisée ("D'après l'algorithme d'Euclide...") est très apprécié des correcteurs. Pour la question de composition, présentez clairement les deux divisions finales. N'oubliez pas que la clarté de votre raisonnement compte autant que la justesse du résultat numérique.