Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'une base DNB, constitue un excellent point de départ pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il permet de travailler la modélisation d'une situation géométrique par une fonction de type polynôme du second degré. La situation repose sur la modification d'un rectangle de dimensions fixes ($10 \times 8$) par la suppression de quatre triangles rectangles isocèles identiques aux sommets. L'enjeu est de comprendre comment l'aire résiduelle évolue en fonction de la longueur de coupe $x$.

Points de vigilance et notions de cours

• Calcul d'aire : L'aire d'un triangle rectangle isocèle de côté $x$ est $\frac{x \times x}{2} = \frac{x^2}{2}$.
• Modélisation : L'aire du polygone s'obtient par soustraction : $Aire_{totale} - 4 \times Aire_{triangle}$.
• Second degré : La fonction obtenue est de la forme $f(x) = ax^2 + b$. Pour résoudre $f(x) = k$, on isole $x^2$.
• Domaine de définition : Puisque la largeur du rectangle est de 8 cm, la valeur maximale de $x$ est 4 cm (pour que les triangles ne se chevauchent pas).

Correction détaillée

Première partie :
1. Si $AE = 3$, l'aire du triangle $AEF$ est $\frac{3 \times 3}{2} = 4,5$ cm².
2. Le polygone est obtenu en retirant 4 triangles identiques à l'aire du rectangle ($10 \times 8 = 80$). L'aire est donc $80 - 4 \times 4,5 = 80 - 18 = 62$ cm².

Deuxième partie :
3a. En fonction de $x$, l'aire d'un triangle est $\frac{x^2}{2}$.
3b. L'aire du polygone est $80 - 4 \times \frac{x^2}{2} = 80 - 2x^2$.
4. Formule tableur en B2 : =80-2*B1^2 ou =80-2*B1*B1.
5a. La fonction $f$ n'est pas affine car sa représentation graphique n'est pas une droite (c'est une portion de parabole) et son expression n'est pas de la forme $ax+b$.
5b. Lecture graphique : pour $f(x) = 60$, on repère l'antécédent sur l'axe des abscisses, environ $x \approx 3,2$.
5c. Résolution par le calcul :
$80 - 2x^2 = 60 \iff -2x^2 = -20 \iff x^2 = 10$.
Comme $x > 0$, la valeur exacte est $x = \sqrt{10}$ cm (soit environ 3,16 cm).