Analyse de l'énoncé : Fonctions et Second Degré

Cet exercice, extrait du sujet de Nouvelle-Calédonie 2023, constitue un excellent outil de révision pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. Bien que posé initialement dans un contexte de fin de collège, il mobilise des compétences fondamentales du lycée : l'analyse d'une parabole, l'interaction entre expressions algébriques et outils numériques (tableur), ainsi que la résolution d'équations du second degré par méthode de comparaison.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Reconnaissance de courbe : Savoir identifier qu'une fonction dont la représentation graphique n'est pas une droite n'est pas une fonction affine. Ici, la forme en 'U' indique une fonction du second degré (polynôme).
• Logique de tableur : Comprendre que la cellule B1 contient la variable $x$. La formule doit donc transformer le contenu de B1 pour obtenir l'ordonnée correspondante.
• Double distributivité : Le passage de la forme factorisée $(x+3)(x-1)$ à la forme développée $x^2+2x-3$ doit être parfaitement maîtrisé.
• Résolution d'équations : L'égalité $f(x) = g(x)$ correspond aux abscisses des points d'intersection entre la parabole et la droite.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Analyse de la fonction $f$

a. La fonction $f$ n'est pas une fonction affine. En effet, sa représentation graphique $\mathcal{C}_f$ n'est pas une droite mais une courbe (une parabole). Une fonction affine possède une variation linéaire constante, ce qui n'est pas le cas ici.

b. En utilisant le graphique, on complète le tableau de valeurs en lisant les ordonnées pour chaque abscisse donnée :
- Pour $x = -1$ (cellule D1), on lit $y = -4$ (D2).
- Pour $x = 0$ (cellule E1), on lit $y = -3$ (E2).
- Pour $x = 1$ (cellule F1), on lit $y = 0$ (F2).
- Pour $x = 2$ (cellule G1), on lit $y = 5$ (G2).

c. La formule correcte est =(B1 + 3)*(B1 - 1). Elle correspond à l'expression factorisée de la fonction $f$.

2. Étude de la fonction affine $g$

La fonction $g$ est définie par $g(x) = 2x + 1$.
a. Image de $-2$ : $g(-2) = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3$.
b. Calcul de $g(3)$ : $g(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$.
c. Antécédent de $2$ : On résout $2x + 1 = 2$, ce qui donne $2x = 1$, soit $x = 0,5$.
d. Pour le tracé, on utilise deux points : $(0 ; 1)$ et $(2 ; 5)$. La droite passe par ces points.

3. Développement et Intersection

a. Développement : $f(x) = (x + 3)(x - 1) = x \times x - x + 3 \times x - 3 = x^2 + 2x - 3$.

b. Résolution de $f(x) = g(x)$ :
$x^2 + 2x - 3 = 2x + 1$
En soustrayant $2x$ de chaque côté, on obtient $x^2 - 3 = 1$.
Soit $x^2 = 4$.
Les solutions sont $x = 2$ ou $x = -2$. Ce sont les abscisses des deux points d'intersection visibles sur le repère.