Introduction : Un exercice complet de Géométrie et de Grandeurs

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet 2023 (Zone Étrangers) est un modèle de transversalité. En mêlant géométrie plane (Trigonométrie, Théorème de Thalès), géométrie dans l'espace (Volumes) et gestion de données (Ratios et coût d'achat), il sollicite une large palette de compétences du cycle 4. Cet exercice, centré sur l'aménagement d'une cabane de jardin, demande non seulement de maîtriser les outils mathématiques classiques, mais aussi de savoir extraire des informations d'un énoncé complexe pour résoudre des problèmes concrets.

Partie A : Trigonométrie et Sécurité du Toboggan

La première partie se concentre sur le triangle rectangle $FDE$. L'objectif est de vérifier la sécurité d'un toboggan en calculant son angle d'inclinaison. Pour calculer l'angle $\widehat{DEF}$, nous disposons de la longueur du côté opposé $DF = 1,2$ m et du côté adjacent $DE = 2,04$ m. Le choix de l'outil est ici crucial : c'est la tangente qui doit être utilisée. La formule $\tan(\widehat{DEF}) = \frac{DF}{DE} = \frac{1,2}{2,04}$ permet d'obtenir, via la touche 'Arctan' de la calculatrice, un angle d'environ $30,5^{\circ}$. En arrondissant au degré près, on obtient bien $31^{\circ}$, ce qui signifie que le toboggan n'est pas strictement conforme à la recommandation de $30^{\circ}$ (bien qu'il s'en rapproche).

Dans la seconde question, pour calculer la longueur de la rampe $EF$, deux méthodes sont possibles : le théorème de Pythagore dans le triangle $FDE$ rectangle en $D$, ou l'utilisation du sinus/cosinus avec l'angle précédemment trouvé. Le théorème de Pythagore est plus précis ici : $EF^2 = DE^2 + DF^2 = 2,04^2 + 1,2^2$. En calculant la racine carrée, on vérifie bien que $EF \approx 2,37$ m. L'élève doit être attentif à la rédaction : citer le triangle rectangle, le théorème utilisé et présenter le calcul de manière structurée.

Partie B : Théorème de Thalès et l'Échelle

La partie B traite de la poutre de consolidation $[MN]$. La première étape est une démonstration de parallélisme. On sait que $(AB)$ est la rampe de l'escalier, mais les données cruciales sont les perpendiculaires. Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$, $(AC)$ est perpendiculaire à $(BC)$. De même, l'énoncé précise que le triangle $BMN$ est rectangle en $N$, donc $(MN)$ est perpendiculaire à $(BC)$. La propriété de cours à utiliser est simple mais puissante : 'Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles'.

Une fois le parallélisme de $(AC)$ et $(MN)$ établi, on applique le théorème de Thalès dans les triangles emboîtés $BMN$ et $BAC$ (sommet commun $B$). Les rapports de longueurs sont les suivants : $\frac{BN}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}$. En remplaçant par les valeurs connues ($BN=0,84$, $BC=1,2$, $AC=0,5$), on obtient $\frac{0,84}{1,2} = \frac{MN}{0,5}$. Le calcul par produit en croix donne $MN = \frac{0,84 \times 0,5}{1,2} = 0,35$ m. Ce résultat est cohérent avec la structure de l'échelle, $MN$ étant plus petit que $AC$.

Partie C : Volumes, Ratios et Optimisation Budgétaire

La dernière partie est la plus dense. Elle commence par un calcul de volume de pavé droit : $V = L \times l \times h = 200 \times 180 \times 20 = 720\,000$ cm³. La conversion en mètres cubes est une étape où beaucoup d'élèves trébuchent. Rappelons que $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³, donc $720\,000$ cm³ $= 0,72$ m³.

L'utilisation des ratios est la nouveauté majeure du programme. Pour un mélange de sable à maçonner et de sable fin dans le ratio $3:2$, le volume total est divisé en $3+2=5$ parts égales. Chaque part représente donc $0,72 / 5 = 0,144$ m³. Le volume de sable à maçonner est de $3 \times 0,144 = 0,432$ m³ et celui de sable fin est de $2 \times 0,144 = 0,288$ m³.

Enfin, la question sur le coût total nécessite une organisation rigoureuse. On ne peut acheter que des sacs entiers. Pour le sable à maçonner : $0,432 / 0,022 \approx 19,63$, soit 20 sacs nécessaires. Coût : $20 \times 2,95 = 59$ €. Pour le sable fin : $0,288 / 0,016 = 18$ sacs pile. Coût : $18 \times 5,95 = 107,10$ €. Le coût total s'élève donc à $166,10$ €. L'erreur classique ici serait de multiplier le volume par le prix sans passer par l'arrondi supérieur du nombre de sacs.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points :

1. Précisez toujours la nature du triangle avant d'utiliser la trigonométrie ou Pythagore.
2. Pour Thalès, n'oubliez pas de citer les droites parallèles et les points alignés.
3. Dans les problèmes de coût, justifiez toujours pourquoi vous arrondissez à l'unité supérieure (on ne peut pas acheter un demi-sac !).
4. Vérifiez vos unités : ne mélangez jamais des mètres et des centimètres dans un même calcul.