Introduction aux Programmes de Calculs au Brevet
L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2019 (Zone Antilles-Guyane) constitue une étude de cas exemplaire sur les programmes de calculs, un thème central du cycle 4. Cet exercice mobilise trois compétences majeures du socle commun : le calcul numérique (manipulation de fractions et de carrés), le calcul littéral (modélisation par une variable \(x\) et réduction d'expressions) et le raisonnement logique (validation d'affirmations). L'objectif pédagogique est de faire passer l'élève d'une exécution procédurale (appliquer des étapes) à une compréhension structurelle (analyser l'équivalence d'expressions algébriques).
Analyse Méthodique de l'Exercice
La première partie de l'exercice demande de tester les programmes A et B avec une valeur numérique fixe (\(5\)). Pour le Programme A, la difficulté réside dans la structure en dérivation : il faut multiplier par 4 d'un côté (\(4 \times 5 = 20\)), soustraire 2 de l'autre (\(5 - 2 = 3\)), élever ce second résultat au carré (\(3^2 = 9\)), puis sommer les deux branches (\(20 + 9 = 29\)). Cette décomposition est essentielle pour ne pas s'embrouiller dans l'ordre des opérations. Pour le Programme B, l'enchaînement est linéaire : \(5^2 = 25\) puis \(25 + 6 = 31\).
Passage au Calcul Littéral : La Modélisation par \(x\)
La question 2 est le pivot de l'exercice. En remplaçant le nombre de départ par \(x\), le programme A devient une expression algébrique. On obtient \(4x + (x - 2)^2\). C'est ici que l'élève doit faire preuve de maîtrise en identités remarquables. En développant \((x - 2)^2\) comme \(x^2 - 4x + 4\), on constate que le terme en \(4x\) s'annule avec le \(-4x\). L'expression se simplifie donc en \(x^2 + 4\). Cette simplification est capitale : elle prouve qu'un programme complexe en apparence peut se réduire à une fonction du second degré très simple. Pour le Programme B, l'expression est directe : \(x^2 + 6\).
Analyse des Affirmations et Justifications
L'exercice se termine par une évaluation de propositions vraies ou fausses, une modalité fréquente au Brevet pour tester la rigueur scientifique.
1. **Affirmation a (Fractions)** : Le calcul avec \(2/3\) demande de maîtriser les carrés de fractions : \((2/3)^2 = 4/9\). En ajoutant 6 (sous la forme \(54/9\)), on obtient bien \(58/9\). C'est une vérification de calcul numérique pur.
2. **Affirmation b (Parité)** : On teste si \(x^2 + 6\) est toujours impair pour un entier. Un simple contre-exemple suffit à infirmer la règle : si \(x = 2\), \(x^2 + 6 = 10\), qui est pair. L'affirmation est donc fausse.
3. **Affirmation c (Signe)** : Un carré \(x^2\) est toujours positif ou nul. En lui ajoutant 6, le résultat est forcément supérieur ou égal à 6. L'affirmation est vraie.
4. **Affirmation d (Parité comparée)** : Le programme A donne \(x^2 + 4\) et le B donne \(x^2 + 6\). La différence entre les deux résultats est toujours de 2. Puisque l'ajout de 2 conserve la parité d'un nombre, les deux résultats auront systématiquement la même parité. L'affirmation est vraie.
Les Pièges à Éviter
Attention à la confusion classique dans l'identité remarquable \((a-b)^2\). Beaucoup d'élèves oublient le double produit (\(2ab\)) et écrivent \(x^2 - 4\) au lieu de \(x^2 - 4x + 4\). Une autre erreur fréquente concerne le traitement des fractions dans la question 4a : n'oubliez pas de mettre au même dénominateur avant d'additionner. Enfin, pour les affirmations portant sur des nombres entiers, rappelez-vous qu'un contre-exemple est l'outil le plus puissant pour prouver qu'une affirmation est fausse, alors qu'un exemple ne suffit jamais à prouver qu'une affirmation est toujours vraie.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Pour chaque question, commencez par citer l'expression littérale avant de substituer les nombres. Utilisez des connecteurs logiques : "On sait que...", "Or...", "Donc...". Dans les questions de type "Vrai/Faux", concluez explicitement par une phrase claire : "L'affirmation est donc vraie". Si vous utilisez un contre-exemple, précisez-le : "Si on choisit \(x=2\), on obtient... ce qui contredit l'affirmation". Une rédaction propre et structurée rassure le correcteur sur votre maîtrise du sujet.