Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu des sujets 'Étrangers' de 2015, porte sur la modélisation de programmes de calcul à travers deux approches complémentaires : l'approche numérique via un tableur et l'approche algébrique via la résolution d'équations. Pour un élève de Première Spécialité, cet exercice permet de consolider la compréhension des fonctions affines, qui sont des polynômes de degré 1, et d'introduire la logique algorithmique nécessaire à la programmation Python ou à l'usage avancé des calculatrices.
Points de vigilance et notions de cours
Pour résoudre cet exercice avec succès, plusieurs notions fondamentales doivent être mobilisées :
- Modélisation fonctionnelle : Il est crucial de savoir traduire un programme de calcul par une expression littérale. Le programme de Mathilde correspond à la fonction f(x) = 9x - 8, tandis que celui de Paul correspond à g(x) = -3x + 31.
- Syntaxe du tableur : La compréhension de la référence relative est essentielle. Lorsqu'on étire une formule de la cellule B2 vers L2, la référence à la cellule B1 doit s'adapter (B1, C1, D1...).
- Résolution d'équations : Savoir isoler une inconnue dans une équation linéaire est la base de l'algèbre de Première. Cela prépare à l'étude des points d'intersection de courbes plus complexes.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Formules du tableur :
Dans la cellule B2 (Mathilde), nous devons traduire 'multiplier par 9 puis soustraire 8'. Comme le nombre de départ se trouve dans la ligne 1, la formule est : =9*B1-8. En étirant cette formule, le tableur appliquera le même calcul aux cellules C1, D1, etc.
Dans la cellule B3 (Paul), pour 'multiplier par -3 et ajouter 31', nous saisissons : =-3*B1+31.
2. Analyse de la conjecture :
En observant le tableau de valeurs fourni à la question 2 :
- Pour un nombre de départ de 3, Mathilde obtient 19 et Paul obtient 22. Le résultat de Paul est supérieur.
- Pour un nombre de départ de 4, Mathilde obtient 28 et Paul obtient 19. Le résultat de Mathilde est maintenant supérieur.
On peut donc conjecturer que l'égalité parfaite se produit pour un nombre de départ compris entre 3 et 4.
3. Résolution par le calcul :
Cherchons x tel que les deux programmes donnent le même résultat :
9x - 8 = -3x + 31
En ajoutant 3x de chaque côté, on obtient : 12x - 8 = 31.
En ajoutant 8 de chaque côté, on obtient : 12x = 39.
D'où x = 39 / 12 = 3,25.
Le nombre de départ à saisir est 3,25. Cette valeur confirme notre conjecture puisqu'elle est bien comprise dans l'intervalle ]3 ; 4[.
Conclusion pour la Première Spécialité
La capacité à basculer entre un tableau de valeurs et une résolution exacte est un atout majeur. En spécialité mathématiques, cette démarche est systématiquement utilisée pour vérifier la cohérence d'un résultat, notamment lors de l'étude des fonctions ou des suites numériques.