Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane nécessaires en Première Spécialité, notamment pour aborder la géométrie repérée et le produit scalaire. Il demande de jongler entre propriétés des quadrilatères, calculs de distances via le théorème de Pythagore et étude de configurations géométriques (parallélisme).

Points de vigilance

• Unités : Toujours vérifier que les calculs sont effectués dans la même unité (ici le cm).
• Justification : Pour Pythagore, n'oubliez pas de préciser que le triangle est rectangle.
• Projection : Comprendre que AH est composé de la hauteur du triangle ABE et de la largeur du rectangle BCDE.

Correction détaillée

1. Aire du rectangle BCDE :
L'aire est donnée par la formule $L \times l$. Ici, $BC = 4,2$ cm et $EB = 7$ cm.
$\text{Aire} = 7 \times 4,2 = 29,4 \text{ cm}^2$.

2. Triangle ABE :
a) Dans le triangle ABE rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore :
$AB^2 + AE^2 = EB^2 \implies 4,2^2 + AE^2 = 7^2 \implies 17,64 + AE^2 = 49$.
$AE^2 = 49 - 17,64 = 31,36$. D'où $AE = \sqrt{31,36} = 5,6$ cm.
b) L'aire de ABE est $\frac{AB \times AE}{2} = \frac{4,2 \times 5,6}{2} = 11,76 \text{ cm}^2$.

3. Calcul de AH :
a) Les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires à (CD) car BCDE est un rectangle. Par construction, (AH) est perpendiculaire à (CD). Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles, donc (ED) // (AH).
b) Soit $h$ la hauteur du triangle ABE issue de A vers la base [BE]. L'aire de ABE peut aussi s'écrire : $\frac{BE \times h}{2}$.
$11,76 = \frac{7 \times h}{2} \implies h = 3,36$ cm.
Puisque (BE) // (CD), la distance AH est la somme de cette hauteur $h$ et de la largeur BC du rectangle : $AH = 3,36 + 4,2 = 7,56$ cm.