Introduction aux notions d'algorithmique et de probabilités au Brevet

Cet exercice issu de la session 2021 du Brevet des collèges (Zone Asie) est un modèle du genre. Il combine deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : l'algorithmique-programmation et les probabilités. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à suivre un flux logique (organigramme), à traduire ce flux dans un langage de programmation par blocs (Scratch), et enfin à mobiliser ses connaissances sur les nombres premiers pour calculer une probabilité. La maîtrise de ces notions est cruciale pour obtenir les points souvent généreux alloués aux questions de programmation à l'épreuve de mathématiques.

Analyse Méthodique de l'Algorithme

L'exercice commence par un organigramme, une représentation graphique d'un algorithme. L'élément central est la condition de test : A-t-on : $N > 15$ ?. C'est ce qu'on appelle une structure conditionnelle 'Si... Alors... Sinon...'.

Question 1 : Justification du résultat pour $N = 18$

Pour justifier le résultat, il faut suivre le cheminement pas à pas. Si l'on choisit $N = 18$ :
1. On teste la condition : $18 > 15$.
2. La réponse est OUI. On suit donc la branche de gauche.
3. Le calcul à effectuer est $100 - N \times 4$.
4. En remplaçant $N$ par 18 : $100 - 18 \times 4 = 100 - 72 = 28$.
Le résultat final est bien $28$. C'est une excellente façon de vérifier que l'élève comprend l'ordre des opérations (priorité à la multiplication).

Question 2 : Application pour $N = 14$

Ici, on teste la branche alternative. Si $N = 14$ :
1. On teste : $14 > 15$.
2. La réponse est NON. On suit la branche de droite.
3. Le calcul est $2 \times (N + 10)$.
4. Application numérique : $2 \times (14 + 10) = 2 \times 24 = 48$.
Le résultat est donc 48.

Question 3 : Résoudre un problème inverse (Remonter l'algorithme)

Cette question demande de résoudre deux équations simples, car le résultat de 32 peut provenir des deux branches. C'est un point de vigilance majeur.
Cas 1 (Branche OUI) : $100 - 4N = 32$. En isolant $4N$, on obtient $4N = 100 - 32 = 68$, d'où $N = 68 / 4 = 17$. Puisque $17 > 15$, ce nombre est une solution valide.
Cas 2 (Branche NON) : $2(N + 10) = 32$. On divise par 2 : $N + 10 = 16$, d'où $N = 6$. Puisque $6 \leq 15$, ce nombre est également une solution valide.
Les deux nombres de départ sont donc 17 et 6.

Analyse du programme Scratch

La transition de l'organigramme vers Scratch est une compétence clé. La ligne 3 correspond au bloc de test : 'si réponse > 15 alors'. La ligne 6 correspond au calcul de la branche 'Sinon' (Non). On y retrouve la structure de la multiplication par 2 d'une somme. On complètera donc : 'dire $2 * (réponse + 10)$'. Il est impératif de bien identifier que dans Scratch, la valeur saisie par l'utilisateur est stockée dans la variable système réponse.

Probabilités et Nombres Premiers : Le bouquet final

La dernière question lie l'algorithme à l'arithmétique. On choisit un nombre premier entre 10 et 25. Listons d'abord l'univers des possibles (les issues) :
Les nombres premiers compris entre 10 et 25 sont : $11, 13, 17, 19, 23$. Il y a donc 5 issues possibles.
Testons maintenant chaque issue avec l'algorithme :
1. Pour $N=11$ (Branche NON) : $2(11+10) = 42$ (pas multiple de 4).
2. Pour $N=13$ (Branche NON) : $2(13+10) = 46$ (pas multiple de 4).
3. Pour $N=17$ (Branche OUI) : $100 - 4 \times 17 = 32$ (Oui, car $32 = 4 \times 8$).
4. Pour $N=19$ (Branche OUI) : $100 - 4 \times 19 = 24$ (Oui, car $24 = 4 \times 6$).
5. Pour $N=23$ (Branche OUI) : $100 - 4 \times 23 = 8$ (Oui, car $8 = 4 \times 2$).
Il y a 3 issues favorables sur 5 au total. La probabilité est donc de $3/5$ ou 0,6.

Les Pièges à Éviter

Attention à la priorité opératoire dans la branche de gauche : la multiplication par 4 s'effectue avant la soustraction. Dans la branche de droite, les parenthèses sont obligatoires car on multiplie la somme par 2. Pour la partie probabilité, une erreur fréquente consiste à oublier que 15 n'est pas premier ou à inclure 25 (qui est $5 \times 5$).

Conseils de Rédaction

Pour maximiser vos points au Brevet, détaillez chaque calcul. Ne vous contentez pas d'écrire le résultat. Écrivez 'Je teste la condition $N > 15$'. Pour la probabilité, énoncez clairement la formule : 'Nombre d'issues favorables / Nombre d'issues totales'. Une rédaction soignée montre au correcteur que vous maîtrisez la logique mathématique derrière les chiffres.