Analyse de l'énoncé et thématiques abordées
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de cycle collège, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en modélisation fonctionnelle, en résolution d'équations du premier degré, en statistiques descriptives et en géométrie dans l'espace. En Première, ces notions sont le socle nécessaire pour aborder les suites arithmétiques (qui sont la version discrète des fonctions affines présentées ici) et l'étude globale de fonctions.
Points de vigilance et prérequis
- Modélisation : Savoir traduire un énoncé concret par une expression algébrique. Le tarif A correspond à une fonction linéaire (proportionnalité), tandis que le tarif B est une fonction affine (prix fixe + coût variable).
- Résolution d'équation : L'isolation de l'inconnue $x$ nécessite de maîtriser les règles de transposition.
- Statistiques : La moyenne arithmétique demande de ne pas oublier de valeurs, tandis que l'étendue mesure la dispersion de la série.
- Unités : Toujours vérifier la cohérence des unités pour le calcul de volume (mètres vers m³).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul des prix pour 10 entrées :
Pour le Tarif A : $10 \times 5,90 = 59$ €. Pour le Tarif B : $30 + 10 \times 4,40 = 30 + 44 = 74$ €.
2. Expressions des fonctions :
La fonction $f$ modélisant le tarif A est $f(x) = 5,90x$. La fonction $g$ modélisant le tarif B est $g(x) = 4,40x + 30$.
3. Équilibre des tarifs :
On résout $5,90x = 4,40x + 30$. En soustrayant $4,40x$ des deux côtés, on obtient $1,50x = 30$. D'où $x = 30 / 1,5 = 20$. Les deux tarifs sont identiques pour 20 entrées.
4. Analyse statistique :
Somme des entrées = $143\,000$.
Moyenne = $143\,000 / 12 \approx 11\,917$ entrées par mois.
Étendue = Valeur max - Valeur min = $13\,800 - 10\,200 = 3\,600$.
5. Géométrie :
Le volume $V$ d'un pavé droit est $Longueu \times largeur \times profondeur$.
$V = 50 \times 25 \times 3 = 3\,750$ m³.