Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu de la session de septembre 2023 en Polynésie, propose une approche transversale des fonctions. Bien que basé sur un socle de fin de collège, il constitue une base de révision essentielle pour le programme de Première Spécialité Mathématiques, notamment pour la manipulation des fonctions du second degré. Il aborde la modélisation d'un programme de calcul sous forme de fonction polynomiale, le calcul littéral, et la résolution graphique d'équations.

Points de vigilance et notions de cours

• La règle du produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. C'est la clé de la question 1.b.
• Développement et réduction : Maîtriser la double distributivité pour transformer une forme factorisée en forme développée.
• Lecture graphique : Différencier l'image (ordonnée) de l'antécédent (abscisse).
• Algorithmique et tableur : Savoir traduire une fonction $g(x) = ax + b$ en formule de tableur (type =a*A2+b).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Programme de calcul :

• a. Vérification : Avec $-8$, on obtient $(-8 + 3) = -5$ et $(-8 - 4) = -12$. Le produit est bien $(-5) \times (-12) = 60$.
• b. Équation : $(x + 3)(x - 4) = 0$ donne $x + 3 = 0$ ou $x - 4 = 0$, soit $x = -3$ ou $x = 4$. Ce sont les deux nombres de départ pour obtenir 0.

2. Étude de la fonction $f$ :

• a. Développement : $f(x) = (x + 3)(x - 4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12$. On retrouve bien l'expression de la fonction du second degré sous sa forme développée.
• b. Image de $1/2$ : $f(0,5) = 0,5^2 - 0,5 - 12 = 0,25 - 0,5 - 12 = -12,25$.
• c. Antécédents de $-6$ : En traçant la droite horizontale $y = -6$ sur le graphique, on repère les points de la parabole ayant cette ordonnée. On lit environ $x = -2$ et $x = 3$.

3. Fonction affine et comparaison :

• a. Formule tableur : Dans la cellule B2, la formule est =3*A2-7.
• b. Graphique : La fonction $g$ est représentée par une droite passant par les points $(-1 ; -10)$ et $(3 ; 2)$.
• c. Intersections : Graphiquement, les nombres ayant la même image par $f$ et $g$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la parabole et de la droite. On lit $x = -1$ et $x = 5$.