Introduction aux probabilités et à la gestion de données au Brevet

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2021 en Polynésie est une étude de cas classique sur les probabilités discrètes. À travers une situation concrète de tirage aléatoire dans des boîtes, les élèves sont confrontés à trois thématiques majeures du programme de 3ème : les probabilités, les fractions et les équations du premier degré. Cet exercice est particulièrement formateur car il demande de jongler entre différentes écritures d'un même nombre (fractionnaire, décimale et pourcentage) pour comparer des fréquences théoriques et prendre une décision optimisée.

Analyse Méthodique du Tirage Aléatoire

Dans cet exercice, l'expérience consiste à tirer un jeton au hasard. L'énoncé précise que les jetons sont « indiscernables au toucher », ce qui garantit une situation d'équiprobabilité pour chaque jeton individuel. La probabilité d'un événement (ici, tirer un jeton noir) se définit alors comme le quotient du nombre de cas favorables sur le nombre de cas totaux.

Question 1 : Calcul de la probabilité dans la boîte C

Pour la boîte C, l'énoncé nous donne $350$ jetons blancs et $50$ jetons noirs. Le premier réflexe à avoir est de calculer le nombre total de jetons : $350 + 50 = 400$. La probabilité de l'événement est donc $\dfrac{50}{400}$. Pour démontrer que cette valeur est égale à $\dfrac{1}{8}$, il faut procéder à une simplification de fraction par le diviseur commun $50$. En effet, $400 \div 50 = 8$. Le raisonnement doit être clairement exposé sur la copie pour valider les points de démonstration.

Question 2 : Stratégie de gain et comparaison de probabilités

Maxime cherche la probabilité la plus élevée. Pour comparer efficacement les trois boîtes, il est conseillé de transformer chaque probabilité en écriture décimale :
- Boîte A : $\dfrac{1}{10} = 0,1$.
- Boîte B : $15\% = \dfrac{15}{100} = 0,15$.
- Boîte C : $\dfrac{1}{8} = 0,125$.
En comparant les valeurs $0,1 < 0,125 < 0,15$, on en conclut que c'est dans la boîte B que la probabilité de gagner est la plus forte. La justification doit impérativement faire apparaître ces trois valeurs comparables.

Question 3 : Utilisation des pourcentages et équations

On nous informe que la boîte B contient $18$ jetons noirs et que cela représente $15\%$ du total. C'est ici qu'intervient la notion de proportionnalité ou d'équation. Soit $x$ le nombre total de jetons. L'égalité s'écrit : $0,15 \times x = 18$. Pour trouver $x$, on effectue l'opération $18 \div 0,15$. Le calcul donne $120$. Il y a donc $120$ jetons au total dans la boîte B. Ce type de question vérifie la capacité de l'élève à faire le lien entre une part relative et une quantité absolue.

Question 4 : Modélisation algébrique complexe

Cette dernière question est la plus exigeante. On modifie la boîte C en ajoutant $10$ jetons noirs, portant leur nombre à $50 + 10 = 60$. On cherche combien de jetons blancs ajouter (appelons ce nombre $y$) pour maintenir la probabilité à $\dfrac{1}{8}$. Le nouveau nombre total de jetons devient $400 + 10 + y = 410 + y$. L'équation à résoudre est : $\dfrac{60}{410 + y} = \dfrac{1}{8}$. En utilisant le produit en croix, on obtient $60 \times 8 = 410 + y$, soit $480 = 410 + y$. Par soustraction, $y = 70$. Il faut donc ajouter $70$ jetons blancs.

Les Pièges à Éviter

Attention à l'erreur classique : oublier d'ajouter les jetons noirs au dénominateur (le total) lors des calculs de probabilité. Une autre confusion fréquente réside dans l'interprétation du pourcentage dans la boîte B ; certains élèves pourraient essayer de diviser par $100$ sans multiplier par le total. Enfin, dans la question 4, veillez à bien définir l'inconnue $y$ comme étant les jetons blancs *supplémentaires* et non le total final.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour maximiser votre note, soignez la présentation des fractions. Utilisez toujours une phrase de conclusion pour répondre à la question posée (ex: « Maxime a donc intérêt à choisir la boîte B »). Mentionnez explicitement les formules utilisées, notamment celle de la probabilité. En mathématiques, la démarche est souvent plus importante que le résultat final aux yeux du correcteur, alors n'hésitez pas à écrire vos étapes de calcul, même si vous n'êtes pas sûr du résultat final.