Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'une base de géométrie plane et spatiale de niveau troisième, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en trigonométrie, l'application du théorème de Thalès, et la gestion des volumes et des ratios. L'objectif est de vérifier la sécurité d'une installation (toboggan) et d'optimiser le coût de matériaux (bac à sable). Pour un élève de spécialité, la rapidité et la précision de la rédaction sur ces thèmes sont essentielles pour aborder sereinement la géométrie repérée plus complexe.

Points de vigilance (notions de cours requises)

• Trigonométrie : Bien identifier le côté opposé et le côté adjacent par rapport à l'angle étudié. La formule \(\tan(\theta) = \frac{\text{Opp}}{\text{Adj}}\) est ici centrale.
• Propriétés des droites : Savoir justifier que deux droites sont parallèles si elles sont perpendiculaires à une même troisième.
• Théorème de Thalès : La rédaction doit être rigoureuse (alignement des points et parallélisme des droites).
• Conversions de volumes : Attention au facteur 1 000 000 entre les \(cm^3\) et les \(m^3\) (\(1 m = 100 cm \Rightarrow 1 m^3 = 10^6 cm^3\)).
• Gestion des Ratios : Un ratio 3:2 signifie que le volume total est divisé en 5 parts égales (3+2).

Correction détaillée

Partie A : Étude du toboggan

1. Dans le triangle FDE rectangle en D :
\(\tan(\widehat{DEF}) = \frac{DF}{DE} = \frac{1,2}{2,04} \approx 0,5882\).
En utilisant la calculatrice (Arctan), on trouve \(\widehat{DEF} \approx 30,46^{\circ}\). Au degré près, l'angle mesure bien 30°. Le toboggan est donc sécurisé.

2. Pour calculer EF, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle FDE :
\(EF^2 = DE^2 + DF^2 = 2,04^2 + 1,2^2 = 4,1616 + 1,44 = 5,6016\).
\(EF = \sqrt{5,6016} \approx 2,3667\) m, soit environ 2,37 m.

Partie B : Étude de l'échelle

1. On sait que (AC) est perpendiculaire à (BC) car ABC est rectangle en C. De même, (MN) est perpendiculaire à (BC) par construction. Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles. Donc (AC) // (MN).

2. Les points B, N, C d'une part et B, M, A d'autre part sont alignés. Puisque (AC) // (MN), le théorème de Thalès donne :
\(\frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC}\).
On a \(BC = 1,2\) m, \(BN = 0,84\) m et \(AC = 0,5\) m.
\(\frac{0,84}{1,2} = \frac{MN}{0,5} \Rightarrow MN = \frac{0,84 \times 0,5}{1,2} = 0,35\) m.

Partie C : Étude du bac à sable

1. \(V = Longueur \times largeur \times hauteur = 200 \times 180 \times 20 = 720\,000\) \(cm^3\).

2. Volume total = 0,72 \(m^3\). Total des parts du ratio = 3 + 2 = 5.
Volume d'une part = \(0,72 / 5 = 0,144\) \(m^3\).
Sable à maçonner : \(3 \times 0,144 = 0,432\) \(m^3\).
Sable fin : \(2 \times 0,144 = 0,288\) \(m^3\).

3. Sable à maçonner : Nombre de sacs = \(0,432 / 0,022 \approx 19,63\), soit 20 sacs. Coût = \(20 \times 2,95 = 59,00\) €.
Sable fin : Nombre de sacs = \(0,288 / 0,016 = 18\) sacs. Coût = \(18 \times 5,95 = 107,10\) €.
Coût total : \(59,00 + 107,10 = 166,10\) €.