Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien que provenant initialement d'une session de 2023, constitue un excellent support de révision pour les élèves de Première Spécialité. Il permet de consolider les bases du calcul de probabilités dans un univers fini et d'introduire la notion d'événements indépendants, pivot du programme de lycée. L'exercice est structuré en deux parties : la première traite de calculs directs basés sur l'équiprobabilité, tandis que la seconde introduit une expérience aléatoire composée à deux épreuves.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :

• L'équiprobabilité : La probabilité d'un événement A est donnée par le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues possibles.
• Définition des nombres premiers : C'est un piège classique. Rappelons qu'un nombre premier possède exactement deux diviseurs (1 et lui-même). Le nombre 1 n'est donc pas premier. Entre 1 et 6, les nombres premiers sont 2, 3 et 5.
• Indépendance : Dans la partie B, le résultat du tirage de la boule n'influence pas le résultat de la roue. On multiplie alors les probabilités des deux événements.

Correction détaillée et guide de résolution

Partie A : Analyse des jeux séparés

1. Jeu 1 : L'univers est composé de 5 boules (1N, 2G, 2P). Il y a 2 boules portant la lettre G. La probabilité de gagner est donc $P(G) = \frac{2}{5} = 0,4$.

2. Jeu 2 : La roue comporte 6 secteurs identiques (1 à 6). Les issues gagnantes sont les nombres premiers : {2, 3, 5}. Il y a 3 issues favorables sur 6 totales. La probabilité est donc $P(P) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$.

3. Comparaison et modification :
a) Comme $0,4 < 0,5$, c'est le Jeu 1 qui présente la plus faible probabilité de gagner.
b) On souhaite que $P(G) = \frac{1}{4}$. Soit $n$ le nombre de boules à rajouter au sac initial. On a l'équation : $\frac{2}{5+n} = \frac{1}{4}$. Par produit en croix, $8 = 5+n$, d'où $n=3$. Il faut rajouter 3 boules ne portant pas la lettre G (par exemple, 3 boules N).

Partie B : Combinaison des jeux

Nous sommes ici face à une succession de deux épreuves indépendantes. L'arbre de probabilité permettrait de visualiser les chemins. Le joueur gagne s'il obtient 'G' ET un 'Nombre Premier'.
La probabilité est : $P(G \cap P) = P(G) \times P(P) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
La probabilité de gagner le lot est donc de 0,2 (soit 20%).