Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base de révision essentielle pour les élèves de Première Spécialité en mathématiques. Il mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane et de calcul numérique. L'exercice se divise en trois parties : un calcul de pourcentage simple, une application du théorème de Pythagore pour une vérification de contrainte spatiale (rotation de l'étagère), et l'utilisation du théorème de Thalès pour le calcul de longueurs dans une configuration de triangles emboîtés.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il est crucial de maîtriser les éléments suivants :

• Théorème de Pythagore : Savoir identifier l'hypoténuse dans un triangle rectangle et poser l'égalité de la relation de Pythagore.
• Théorème de Thalès : Identifier les droites parallèles et le sommet commun pour établir les rapports de proportionnalité.
• Interprétation concrète : Comprendre que lors du relèvement de l'étagère, c'est la diagonale du meuble qui ne doit pas excéder la hauteur sous plafond.
• Rigueur de rédaction : Toujours citer les théorèmes utilisés et préciser les conditions d'application (triangle rectangle ou droites parallèles).

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Calcul du montant de la réduction :
La réduction est de 10 % sur un prix de 139,90 €.
Montant = $139,90 \times \frac{10}{100} = 13,99$ €.

2. Vérification du passage sous le plafond :
L'étagère pivote autour du point A. Le point le plus haut atteint lors du mouvement est la diagonale AC. Dans le triangle ABC rectangle en B (position 1), d'après le théorème de Pythagore :
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 0,80^2 + 2,25^2$
$AC^2 = 0,64 + 5,0625 = 5,7025$
$AC = \sqrt{5,7025} \approx 2,388$ m.
Comme $2,388 < 2,40$, l'étagère ne touchera pas le plafond.

3. Calcul des tablettes (Thalès) :
a) La longueur $B'C' = 2,25$ m est divisée en 5 segments égaux (marqués par les doubles barres). Chaque segment mesure $2,25 / 5 = 0,45$ m. Ainsi, $C'E = 0,45$ m.
b) Dans le triangle $AB'C'$, les droites $(DE)$ et $(AB')$ sont parallèles (car les tablettes sont horizontales et le mur vertical). D'après le théorème de Thalès : $\frac{C'E}{C'B'} = \frac{DE}{AB'}$.
$\frac{0,45}{2,25} = \frac{DE}{0,80}$, d'où $DE = \frac{0,45 \times 0,80}{2,25} = 0,16$ m.
c) Pour la tablette [HI], le point H est situé à 3 segments du sommet $C'$. $C'H = 3 \times 0,45 = 1,35$ m.
$\frac{C'H}{C'B'} = \frac{HI}{AB'} \Rightarrow \frac{1,35}{2,25} = \frac{HI}{0,80}$, d'où $HI = \frac{1,35 \times 0,80}{2,25} = 0,48$ m.