Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'initialement posé au DNB, traite de la modélisation algébrique, une compétence socle pour la classe de Première Spécialité. Il demande de traduire une situation concrète en un système d'équations linéaires. Cette maîtrise des outils algébriques est indispensable avant d'aborder des notions plus complexes comme l'optimisation ou l'étude de fonctions polynomiales.
Points de vigilance
Pour résoudre ce type de problème, l'élève doit être particulièrement attentif aux étapes suivantes :
- Identification des variables : Il est crucial de nommer clairement les inconnues (par exemple, x pour le miel et y pour le pain d'épices).
- Rigueur de la substitution : Lors du remplacement d'une variable par son expression, l'usage des parenthèses évite les erreurs de signe.
- Interprétation finale : Ne pas oublier de répondre à la question posée (le montant payé par le troisième ami) après avoir trouvé les valeurs unitaires.
Correction détaillée et guide de résolution
Posons :
x = le prix d'un pot de miel en euros.
y = le prix d'un pain d'épices en euros.
Le texte nous donne deux équations :
1) 2x + 3y = 24
2) x + 2y = 14,50
Isolons x dans la deuxième équation :
x = 14,50 - 2y
Injectons cette expression dans la première équation :
2(14,50 - 2y) + 3y = 24
29 - 4y + 3y = 24
29 - y = 24
-y = 24 - 29
y = 5
Maintenant, calculons x :
x = 14,50 - 2(5) = 14,50 - 10 = 4,50.
Le prix d'un pot de miel est de 4,50 € et celui d'un pain d'épices est de 5 €.
Le troisième ami achète trois pots de miel et un pain d'épices :
3x + y = 3(4,50) + 5 = 13,50 + 5 = 18,50.
Le troisième ami paiera donc 18,50 euros.