Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de réflexion de fin de collège, constitue un excellent support pour consolider les fondamentaux de l'algorithmique et des probabilités en classe de Première Spécialité. Il mobilise des compétences clés : la lecture d'un organigramme (flowchart), la traduction de cet organigramme en langage par blocs (Scratch) ou en pseudo-code, ainsi que l'application de probabilités simples sur un ensemble fini (nombres premiers).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :
- La structure conditionnelle : Comprendre comment une instruction SI... ALORS... SINON... oriente le flux d'exécution en fonction d'un test logique ($N > 15$).
- La logique inverse : Savoir poser et résoudre des équations du premier degré pour retrouver l'antécédent (le nombre de départ) à partir d'une image (le résultat final).
- Les nombres premiers : Connaître la définition d'un nombre premier et savoir lister ceux compris dans un intervalle restreint (entre 10 et 25).
- Calcul de probabilité : Utiliser la formule de Laplace sur un univers fini : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Test pour $N = 18$ :
Le nombre choisi est $18$. Puisque $18 > 15$, nous suivons la branche 'OUI'. Le calcul est : $100 - 18 \times 4 = 100 - 72 = 28$. Le résultat est bien $28$.
2. Test pour $N = 14$ :
Le nombre choisi est $14$. Puisque $14 \leq 15$, nous suivons la branche 'NON'. Le calcul est : $2 \times (14 + 10) = 2 \times 24 = 48$.
3. Recherche des antécédents de 32 :
Nous devons explorer les deux branches de l'algorithme :
- Hypothèse $N > 15$ : On résout $100 - 4N = 32 \Rightarrow -4N = -68 \Rightarrow N = 17$. Comme $17 > 15$, c'est une solution valide.
- Hypothèse $N \leq 15$ : On résout $2(N + 10) = 32 \Rightarrow N + 10 = 16 \Rightarrow N = 6$. Comme $6 \leq 15$, c'est une solution valide.
Les deux nombres sont donc $17$ et $6$.
4. Complétion du script Scratch :
Ligne 3 : Le test logique correspond à la question de l'organigramme : si réponse > 15 alors.
Ligne 6 : Il s'agit du calcul de la branche 'NON' : dire 2 * ( réponse + 10 ) pendant 2 secondes.
5. Probabilités :
L'univers des nombres premiers entre 10 et 25 est $\Omega = \{11, 13, 17, 19, 23\}$. Il y a 5 issues possibles.
Testons les résultats pour chaque $N \in \Omega$ :
- $N=11 : 2(11+10) = 42$ (pas un multiple de 4)
- $N=13 : 2(13+10) = 46$ (pas un multiple de 4)
- $N=17 : 100-4(17) = 32$ (multiple de 4)
- $N=19 : 100-4(19) = 24$ (multiple de 4)
- $N=23 : 100-4(23) = 8$ (multiple de 4)
Il y a 3 issues favorables sur 5. La probabilité est donc $P = \frac{3}{5} = 0,6$.