Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien que tiré d'une banque d'annales DNB, constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en calcul littéral, en manipulation d'expressions du second degré et en raisonnement logique. L'objectif est de transformer un algorithme séquentiel de calcul en une fonction polynomiale pour en étudier les propriétés arithmétiques. Nous allons voir comment l'application des identités remarquables permet de simplifier une expression complexe en une forme affine facile à interpréter.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis sont essentiels :
- La double distributivité ou les identités remarquables : Savoir développer $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ sans erreur de signe.
- La modélisation : Traduire des étapes textuelles en symboles mathématiques (le passage de la phrase à la variable $x$).
- L'usage du tableur : Comprendre la syntaxe des formules (utilisation de l'astérisque * pour la multiplication et adressage des cellules).
- La notion de multiple : Comprendre qu'un nombre est un multiple de 4 s'il peut s'écrire sous la forme $4 imes k$, où $k$ est un entier.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Applications numériques :
a) Pour 2 : $2
ightarrow 2+2=4
ightarrow 4^2=16
ightarrow 16 - 2^2 = 16 - 4 = 12$. La vérification est confirmée.
b) Pour $-8$ : $-8
ightarrow -8+2 = -6
ightarrow (-6)^2 = 36
ightarrow 36 - (-8)^2 = 36 - 64 = -28$. Attention ici au carré d'un nombre négatif qui est toujours positif.
2. Formule tableur :
Dans la cellule B5, on cherche à soustraire le carré du nombre de départ (situé en B2) au résultat de l'étape précédente (situé en B4). La formule correcte est donc =B4 - B2 * B2.
3. Modélisation algébrique :
a) Soit $x$ le nombre choisi. Le programme suit les étapes :
Step 1 : $x+2$
Step 2 : $(x+2)^2$
Step 3 : $(x+2)^2 - x^2$.
L'expression finale est donc $P(x) = (x+2)^2 - x^2$.
b) Développons cette expression :
$(x+2)^2 - x^2 = (x^2 + 2 imes x imes 2 + 2^2) - x^2$
$= x^2 + 4x + 4 - x^2$
$= 4x + 4$.
4. Interprétation arithmétique :
On a montré que le résultat est $4x + 4$. En factorisant par 4, on obtient $4(x + 1)$. Si $x$ est un nombre entier, alors $(x + 1)$ est également un nombre entier. Par définition, $4 imes (entier)$ est un multiple de 4. L'affirmation est donc vraie.