Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet 2021 des centres étrangers, mobilise des compétences fondamentales en analyse de fonctions. Il s'agit de modéliser des situations économiques réelles (tarification d'une station de ski) à l'aide de fonctions numériques. Le candidat doit savoir passer d'un énoncé textuel à une expression algébrique, compléter un tableau de valeurs et exploiter une représentation graphique pour résoudre des problèmes d'optimisation (recherche du tarif le plus avantageux).
Points de vigilance et notions de cours
- Proportionnalité : Une situation de proportionnalité est représentée par une fonction linéaire de type $h(x) = ax$. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.
- Fonctions Affines : La formule B ($f(x) = 18,5x + 90$) est une fonction affine. Le terme '90' représente l'ordonnée à l'origine (le coût fixe de l'abonnement).
- Lecture Graphique : Soyez précis sur la lecture des unités des axes. L'axe des ordonnées a une graduation de 40 unités par carreau.
- Équations : Pour trouver quand deux tarifs sont égaux, il faut résoudre l'équation $f(x) = h(x)$.
Correction détaillée
1. Tableau de valeurs :
Pour 6 jours : A = $36,5 \times 6 = 219$ € ; B = $90 + 18,5 \times 6 = 201$ € ; C = 448,50 €.
Pour 10 jours : A = 365 € ; B = 275 € ; C = 448,50 €.
2. Analyse algébrique :
a. La fonction $h(x) = 36,5x$ représente une situation de proportionnalité.
b. Formule A $\rightarrow h(x)$ (linéaire) ; Formule B $\rightarrow f(x)$ (affine) ; Formule C $\rightarrow g(x)$ (constante).
c. Pour l'égalité A et B : $36,5x = 90 + 18,5x \iff 18x = 90 \iff x = 5$. Les tarifs sont identiques pour 5 jours de ski.
Interprétation graphique
- $(d_1)$ : Droite horizontale, correspond à $g(x)$ (Formule C).
- $(d_2)$ : Passe par l'origine, correspond à $h(x)$ (Formule A).
- $(d_3)$ : Ordonnée à l'origine à 90, correspond à $f(x)$ (Formule B).
Pour un budget de 320 €, on regarde l'abscisse correspondant à $y=320$. Sur $(d_3)$ (le tarif le plus bas à cet endroit), on trouve environ 12 jours de ski. Pour la question 3.c, le seuil de rentabilité de la Formule C se situe à l'intersection de $(d_1)$ et $(d_3)$. Graphiquement, cela se produit à partir de 20 jours de ski.