Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice issu du Brevet des collèges 2021 (Zone Amérique du Sud) est un modèle de transversalité. Il mobilise trois compétences majeures du socle commun : la recherche d'informations dans des documents techniques, le calcul de volumes (solides usuels comme le pavé droit, le cube et le cylindre) et la maîtrise des pourcentages dans un contexte commercial. L'objectif ici est de simuler une situation réelle de production industrielle (fabrication de bougies) pour évaluer la capacité de l'élève à organiser un raisonnement complexe sur plusieurs étapes.

Analyse Question 1 : Logistique et Masse Volumique

La première partie de l'exercice demande une lecture attentive des documents. Il s'agit de comprendre comment des cubes de cire de $6$ cm d'arête sont stockés dans un carton de forme pavé droit.

1.a. Dénombrement des cubes

Pour montrer que le carton contient $360$ cubes, il ne suffit pas de diviser les volumes. Il faut vérifier l'agencement spatial. Le carton mesure $60$ cm de largeur, $36$ cm de hauteur et $36$ cm de profondeur. Puisque chaque cube a une arête de $6$ cm, on peut en placer :
- $60 \div 6 = 10$ cubes en longueur.
- $36 \div 6 = 6$ cubes en hauteur.
- $36 \div 6 = 6$ cubes en profondeur.
Le nombre total de cubes est donc le produit de ces trois dimensions : $10 \times 6 \times 6 = 360$. Cette méthode par les dimensions est plus rigoureuse que le simple rapport des volumes, car elle garantit qu'il n'y a pas de "vide" dû à un mauvais emboîtement.

1.b. Calcul de la masse totale

Ici, l'élève doit manipuler la formule de la masse volumique : $Masse = Volume \times Masse \text{ } Volumique$.
Étape 1 : Calculer le volume d'un cube : $V_{cube} = 6^3 = 216 \text{ cm}^3$.
Étape 2 : Volume total de cire dans le carton : $360 \times 216 = 77\,760 \text{ cm}^3$.
Étape 3 : Calcul de la masse en grammes : $77\,760 \times 0,95 = 73\,872 \text{ g}$.
Étape 4 : Conversion en kilogrammes et arrondi : $73,872 \text{ kg}$, soit environ $74 \text{ kg}$ à l'unité près. L'attention portée aux unités est ici cruciale pour ne pas perdre de points.

Analyse Question 2 : Géométrie et Optimisation des ressources

La deuxième partie introduit le cylindre de révolution. C'est un grand classique du Brevet.

2.a. Volume de la bougie cylindrique

Le rappel de la formule est fourni : $V = \pi \times r^2 \times h$. Le piège classique est d'utiliser le diamètre ($6$ cm) à la place du rayon ($3$ cm).
Calcul : $V = \pi \times 3^2 \times 6 = \pi \times 9 \times 6 = 54\pi \approx 169,646 \text{ cm}^3$. On retrouve bien la valeur d'environ $170 \text{ cm}^3$ demandée par l'énoncé. Utiliser la touche $\pi$ de la calculatrice est indispensable pour la précision.

2.b. Recyclage et calcul de perte

Cette question demande une réflexion sur la différence de volume.
Volume perdu par cube = Volume cube - Volume cylindre = $216 - 169,646 \approx 46,354 \text{ cm}^3$.
On veut savoir combien de cubes il faut découper pour récupérer assez de cire pour reformer un cube entier de $216 \text{ cm}^3$.
Nombre de cubes nécessaires = $216 \div 46,354 \approx 4,65$.
Puisqu'on ne peut pas découper une fraction de cube pour la production initiale, il faut donc découper 5 cubes pour avoir assez de résidus pour en créer un nouveau.

Analyse Question 3 : Pourcentages et calcul commercial

La dernière question porte sur le prix d'achat. C'est une situation de "calcul à l'envers".
Le commerçant vend la bougie $9,60$ €. Ce prix correspond au prix d'achat majoré de $20\%$.
Si $x$ est le prix d'achat, on a l'équation : $x \times (1 + 20/100) = 9,60$, soit $1,2x = 9,60$.
Le calcul est donc $9,60 \div 1,2 = 8$.
Le commerçant paie donc la bougie $8$ € à l'usine. L'erreur fréquente serait de calculer $20\%$ de $9,60$ et de les soustraire, ce qui est mathématiquement incorrect dans ce contexte de marge bénéficiaire.

Les pièges à éviter au Brevet

• Confondre Diamètre et Rayon : Dans le calcul du volume du cylindre, divisez toujours le diamètre par 2 immédiatement.
• Les Unités : La masse volumique est en $g/cm^3$, le résultat intermédiaire est donc en grammes. N'oubliez pas la conversion finale en kg.
• L'arrondi : L'énoncé précise "à l'unité près". Un résultat comme $73,8$ doit impérativement être transformé en $74$.
• Le sens du pourcentage : Une augmentation de $20\%$ suivie d'une baisse de $20\%$ ne revient pas au prix initial. Ici, il faut bien diviser par $1,2$.

Conseils de rédaction pour l'épreuve

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez toujours la formule littérale avant de passer aux chiffres (ex: "On sait que $V = L \times l \times h$").
2. Faites des phrases réponses claires et soulignez le résultat final.
3. Précisez les unités à chaque étape de votre raisonnement. Si vous utilisez une valeur arrondie pour un calcul suivant, essayez de garder la valeur exacte en mémoire sur votre calculatrice pour éviter les dérives de précision.