Analyse de l'exercice et contexte pédagogique
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de type brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la Spécialité Mathématiques en Première. Il traite de l'évolution de grandeurs géométriques selon une progression spécifique, ce qui préfigure l'étude des suites géométriques et des transformations du plan comme l'homothétie.
Points de vigilance et notions requises
- Théorème de Pythagore : Utilisé pour le calcul de la diagonale d'un carré. En Première, on attend la connaissance de la formule directe : $d = c\sqrt{2}$.
- Suites de nombres : Reconnaître que doubler le côté à chaque étape revient à appliquer une raison $q=2$.
- Trigonométrie : Savoir identifier le côté opposé et le côté adjacent dans un triangle rectangle pour utiliser la tangente.
- Propriétés des agrandissements : Comprendre que si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires le sont par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
Guide de résolution détaillé
1. Calcul de la diagonale AC : Dans le carré ABCD de côté 1 cm, le triangle ABC est rectangle en B. D'après le théorème de Pythagore : $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. On en déduit $AC = \sqrt{2} \approx 1,41$ cm.
2. Analyse de la suite de carrés :
a. Le coefficient d'agrandissement est 2 car l'énoncé précise que l'on double la longueur du côté à chaque étape.
b. La transformation permettant de passer d'un carré au suivant en conservant un sommet commun (A) et en dilatant les distances est une homothétie de centre A et de rapport 2.
c. L'affirmation est fausse. Le carré 1 (ABCD) a un côté de 1. Le carré 2 (AEFG) a un côté de 2. Le carré 3 (AHIJ) a un côté de 4. La diagonale est proportionnelle au côté. Si le côté est multiplié par 4 ($2^2$), la diagonale l'est aussi. Le rapport est de 4, pas de 3.
3. Calcul de l'angle AJB : Le triangle ABJ est rectangle en A. On connaît $AB = 1$ cm (côté du premier carré) et $AJ = 4$ cm (côté du troisième carré). On utilise la tangente : $\tan(\widehat{AJB}) = \frac{AB}{AJ} = \frac{1}{4} = 0,25$. À l'aide de la calculatrice ($\arctan(0,25)$), on obtient $\widehat{AJB} \approx 14°$ (arrondi à l'unité).