Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet de Polynésie 2021, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Bien que les outils utilisés soient introduits au collège, leur maîtrise est le socle indispensable pour aborder les chapitres de Géométrie repérée et de Produit scalaire en Première. L'énoncé demande de jongler entre démonstrations d'orthogonalité, calculs d'aires, trigonométrie et vérification de parallélisme.

Points de vigilance et notions de cours

Pour résoudre cet exercice avec efficacité, plusieurs notions clés doivent être mobilisées :

• La réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour prouver qu'un triangle est rectangle lorsqu'on connaît ses trois côtés.
• La trigonométrie dans le triangle rectangle : Utilisation du cosinus, sinus ou tangente (SOH CAH TOA) pour déterminer un angle.
• Propriétés des angles : Reconnaître des angles opposés par le sommet pour déduire une orthogonalité dans une figure complexe.
• Théorème de Thalès : Utiliser les rapports de proportionnalité (ou leur absence) pour conclure sur le parallélisme.

Correction détaillée

1. Démontrer que ABC est rectangle en C :
Dans le triangle ABC, le côté le plus long est AB = 17 cm. Calculons séparément les carrés :
$AB^2 = 17^2 = 289$
$AC^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$
On observe que $AB^2 = AC^2 + BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

2. Aire du triangle ABC :
Le triangle étant rectangle en C, sa base et sa hauteur correspondent aux côtés de l'angle droit.
$Aire = \frac{AC \times BC}{2} = \frac{8 \times 15}{2} = \frac{120}{2} = 60 \text{ cm}^2$.

3. Calcul de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ :
Dans le triangle ABC rectangle en C, on peut utiliser le cosinus :
$\cos(\widehat{\text{BAC}}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{AC}{AB} = \frac{8}{17}$.
À la calculatrice : $\widehat{\text{BAC}} = \text{arccos}(\frac{8}{17}) \approx 61,9°$. La valeur arrondie au degré est 62°.

4. Périmètre du triangle CDE :
Les angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{DCE}$ sont opposés par le sommet. Puisque $\widehat{BCA} = 90°$, alors $\widehat{DCE} = 90°$. Le triangle CDE est donc rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore dans CDE :
$DE^2 = CE^2 + CD^2 \Rightarrow 13^2 = 12^2 + CD^2 \Rightarrow 169 = 144 + CD^2$.
$CD^2 = 169 - 144 = 25$, donc $CD = 5 \text{ cm}$.
Le périmètre est $P = CD + CE + DE = 5 + 12 + 13 = 30 \text{ cm}$.

5. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
Vérifions les rapports de longueurs à partir du point C (en configuration papillon) :
$\frac{CA}{CD} = \frac{8}{5} = 1,6$
$\frac{CB}{CE} = \frac{15}{12} = 1,25$
Comme $\frac{CA}{CD} \neq \frac{CB}{CE}$, les rapports ne sont pas égaux. D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) ne sont pas parallèles.

Vers la Première Spécialité

En Première, la question 1 pourrait être traitée en vérifiant que le produit scalaire $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$ est nul. La question 5 illustre le concept de vecteurs directeurs non colinéaires. Maîtriser ces bases géométriques permet de se concentrer sur les nouveaux outils analytiques sans être freiné par les calculs de base.