Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane essentielles pour le programme de Première Spécialité, notamment la compréhension des transformations et de la trigonométrie (mesures d'angles et rotations). L'énoncé présente une rosace composée de huit carrés identiques obtenus par des rotations successives de 45° autour d'un centre O. Cette structure régulière permet d'étudier les propriétés de symétrie axiale, de symétrie centrale et de rotation.
Points de vigilance et notions requises
- La Rotation : Il faut identifier le sens (horaire ou anti-horaire) et l'amplitude de l'angle. Un angle de 45° correspond à un huitième de tour (360/8).
- La Symétrie Centrale : Elle est équivalente à une rotation de 180°. Dans cette figure, elle correspond à un déplacement de 4 positions (4 x 45° = 180°).
- La Symétrie Axiale : L'axe (DB) est vertical ici. Les images se trouvent par 'pliage' de la figure de part et d'autre de cette droite.
Correction détaillée de l'exercice
1. Symétrie axiale d'axe (DB) : L'axe passe par les sommets des carrés 1 et 5. Par pliage le long de cet axe vertical :
Le carré 2 a pour image le carré 8.
Le carré 3 a pour image le carré 7.
Le carré 4 a pour image le carré 6.
2. Symétrie centrale de centre O : Une symétrie centrale correspond à un demi-tour (180°).
L'image du carré 8 par la symétrie centrale est le carré situé à l'opposé par rapport à O. En comptant 4 positions à partir du 8 (8 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4), on obtient le carré 4.
Réponse : Non, l'image du carré 8 est le carré 4, pas le carré 3.
3. Rotation de centre O (1 vers 2) : Pour passer du carré 1 au carré 2, on effectue une rotation de 45° dans le sens des aiguilles d'une montre.
L'image du carré 8 par cette même rotation est le carré 1.
4. Rotation de centre O (2 vers 5) : Pour passer du carré 2 au carré 5, on parcourt 3 secteurs de 45° (3 x 45° = 135°) dans le sens horaire.
Le segment [EF] est associé aux carrés 3 (E) et 4 (F). En appliquant la rotation de 135° :
- Le point E (lié au carré 3) se déplace de 3 rangs vers le 6 (I).
- Le point F (lié au carré 4) se déplace de 3 rangs vers le 7 (J).
Réponse : L'image du segment [EF] est le segment [IJ].