Analyse de l'énoncé
Cet exercice de géométrie appliquée propose une mise en situation concrète : la rénovation d'une salle de bain. Bien que les concepts de base semblent simples, la difficulté réside dans la précision de la modélisation et la gestion des contraintes réelles (pertes de découpe, conditionnement des produits). Pour un élève de Première Spécialité, ce type d'exercice permet de renforcer la rigueur de raisonnement et la capacité à extraire des données pertinentes d'un schéma complexe. Il faut décomposer le problème en plusieurs étapes logiques : calcul des surfaces murales, soustraction des ouvertures, conversion de ces surfaces en quantités de matériel, et enfin calcul financier incluant une remise commerciale.
Points de vigilance et notions de cours
- Calcul de surface latérale : Un parallélépipède rectangle possède quatre faces latérales. Il est essentiel de ne pas oublier que les murs se font face deux à deux (2 fois la longueur et 2 fois la largeur).
- Exclusion des ouvertures : Le papier peint n'est pas posé sur la porte ni sur la fenêtre. L'aire totale doit donc être diminuée de l'aire de ces deux rectangles.
- Arrondis de sécurité : Dans le monde réel et en mathématiques appliquées, on ne peut pas acheter une fraction de rouleau ou de pot de colle. L'arrondi doit toujours se faire à l'entier supérieur, même si la partie décimale est faible.
- Coefficients multiplicateurs : Pour appliquer une remise de 8 %, on utilise le coefficient (1 - 8/100) = 0,92.
Correction détaillée
1. Calcul de la surface à recouvrir :
La salle de bain a pour dimensions au sol 3,50 m par 2,50 m, avec une hauteur sous plafond de 2,50 m. L'aire des quatre murs est :
Aire_murs = 2 × (3,50 × 2,50) + 2 × (2,50 × 2,50) = 17,5 + 12,5 = 30 m².
Calculons l'aire des zones à ne pas recouvrir :
Aire_porte = 2,10 × 0,80 = 1,68 m².
Aire_fenêtre = 1,20 × 1,60 = 1,92 m².
Surface finale = 30 - (1,68 + 1,92) = 30 - 3,6 = 26,4 m².
2. Prix au mètre carré :
Un rouleau coûte 16,95 € pour 5,3 m². Le prix au m² est de 16,95 / 5,3 ≈ 3,198 €. En arrondissant au centime, on obtient 3,20 € par m².
3. Coût total de la rénovation :
- Rouleaux : 26,4 / 5,3 ≈ 4,98. Il faut 5 rouleaux, auxquels on ajoute 1 rouleau de sécurité selon le conseil du vendeur, soit 6 rouleaux. Coût = 6 × 16,95 = 101,70 €.
- Colle : Il faut 1 pot pour 4 rouleaux. Pour 6 rouleaux, 6 / 4 = 1,5. Il faut donc acheter 2 pots. Coût = 2 × 5,70 = 11,40 €.
- Total HT : 101,70 + 11,40 = 113,10 €.
4. Calcul après remise :
Prix final = 113,10 × 0,92 = 104,052 €. Après arrondi, le montant à payer est de 104,05 €.
Méthodologie et conclusion
Pour réussir ce type d'exercice, la clé est la structuration de la copie. En Première Spécialité, on attend de l'élève qu'il nomme clairement chaque calcul (Aire murs, Aire ouvertures, etc.) et qu'il justifie ses arrondis par le contexte (achat d'objets entiers). Cette rigueur de rédaction prépare aux exercices plus complexes de géométrie dans l'espace où la visualisation et la décomposition de volumes sont primordiales.