Introduction aux notions du Brevet : Volumes et Statistiques

Cet exercice issu du sujet Métropole 2019 est un modèle du genre pour le Brevet des collèges. Il mobilise trois compétences clés du programme de troisième : la géométrie dans l'espace (calcul de volumes), les grandeurs composées (vitesse d'écoulement et débit) et le traitement de données (statistiques). L'énoncé s'appuie sur un objet concret, le sablier, pour tester la capacité de l'élève à passer d'un modèle géométrique à une analyse temporelle, puis à une vérification de conformité industrielle.

Analyse détaillée de la partie 1 : Géométrie et Débit

La première partie demande une rigueur particulière sur la lecture de l'énoncé. On nous présente un sablier complexe, mais la question 1.a se focalise uniquement sur le cylindre $C_2$.

Le calcul du volume de sable

Pour montrer que le volume est de $4,95$ cm³, il faut appliquer la formule du volume d'un cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$. Le piège classique ici réside dans le diamètre : l'énoncé donne un diamètre de $1,5$ cm, ce qui implique un rayon $r = 0,75$ cm. La hauteur totale du cylindre est de $4,2$ cm, mais attention, le sable ne remplit que les deux tiers de ce cylindre. Le calcul est donc : $V_{sable} = \frac{2}{3} \times (\pi \times 0,75^2 \times 4,2)$. En effectuant l'opération, on obtient environ $4,948$, ce qui s'arrondit bien à $4,95$ cm³. N'oubliez jamais d'écrire la formule littérale avant de passer aux chiffres, c'est ce que les correcteurs attendent.

Gestion des grandeurs composées : Temps d'écoulement

La question 1.b introduit la notion de débit. Le débit est une grandeur composée, exprimée ici en cm³/min. Pour trouver le temps $t$, on utilise la relation $t = \frac{Volume}{Débit}$. Avec un volume de $4,95$ cm³ et un débit de $1,98$ cm³/min, on obtient $4,95 / 1,98 = 2,5$ minutes. Attention ! Une erreur fréquente est de convertir $2,5$ min en 2 min 50 s. Or, $0,5$ minute représente la moitié d'une minute, soit $30$ secondes. Le temps exact est donc de 2 minutes et 30 secondes.

Analyse détaillée de la partie 2 : Statistiques et Conformité

La seconde partie bascule sur l'analyse d'une série statistique issue de tests en usine. On étudie 40 tests (somme des effectifs dans le tableau).

Calcul de l'étendue, de la médiane et de la moyenne

L'exercice demande de vérifier trois critères de qualité.
1. **L'étendue** : C'est la différence entre la valeur la plus haute et la plus basse. Ici, $2$ min $38$ s - $2$ min $22$ s = $16$ secondes. Comme $16 < 20$, le premier critère est validé.
2. **La médiane** : Avec un effectif total de 40 (nombre pair), la médiane se situe entre la 20ème et la 21ème valeur. En cumulant les effectifs (1+1+2+6+3+7+6 = 26), on s'aperçoit que la 20ème valeur est $2$ min $29$ s et la 21ème est $2$ min $30$ s. La médiane est donc $2$ min $29,5$ s, ce qui est bien compris entre $2$ min $29$ s et $2$ min $31$ s.
3. **La moyenne** : C'est l'étape la plus chronophage. Il faut convertir tous les temps en secondes pour faciliter le calcul : par exemple, $2$ min $22$ s = $142$ s. On multiplie chaque temps par son effectif, on additionne tout et on divise par 40. Une fois le résultat obtenu en secondes, on le convertit à nouveau en minutes et secondes pour vérifier s'il est compris entre $2$ min $28$ s et $2$ min $32$ s.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Le principal danger de cet exercice est la conversion des unités de temps. Rappelez-vous toujours que le temps fonctionne en base 60 (système sexagésimal). Lors de l'examen, utilisez votre calculatrice pour les conversions si elle possède la touche 'degrés/minutes/secondes'.
Pour la rédaction, soignez la présentation des statistiques : citez les formules (Somme des valeurs / Effectif total) et justifiez la position de la médiane par le calcul de l'effectif total divisé par deux. Un sablier est éliminé si une seule des trois conditions n'est pas remplie, soyez donc extrêmement précis dans vos conclusions finales.