Introduction aux concepts de Volumes et de Proportionnalité

Cet exercice issu du sujet du Brevet des Collèges 2019 (Zone Antilles-Guyane) est une étude de cas exemplaire qui croise trois domaines fondamentaux du programme de mathématiques de 3ème : la géométrie dans l'espace (volumes du cylindre et du cône), l'analyse de fonctions (représentations graphiques) et la proportionnalité. L'objectif pédagogique est double : vérifier la capacité de l'élève à extraire des informations d'un graphique complexe et valider sa maîtrise des calculs littéraux appliqués aux solides usuels.

Analyse de la Question 1 : Lecture Graphique et Modélisation

La première partie de l'exercice repose exclusivement sur la lecture et l'interprétation d'un graphique représentant le volume $V$ en fonction de la hauteur $h$.
Pour la question 1.a, la notion de proportionnalité est au cœur du raisonnement. En mathématiques, deux grandeurs sont proportionnelles si leur représentation graphique est une droite passant par l'origine. En observant le graphique, on constate que la courbe du verre A est une droite passant par $(0;0)$, ce qui caractérise une fonction linéaire de type $f(x) = ax$. Le verre A, étant cylindrique, voit son volume croître de manière constante avec la hauteur. À l'inverse, le verre B présente une courbe : le volume ne croît pas proportionnellement à la hauteur à cause de sa forme conique (la surface de la 'tranche' augmente avec la hauteur).
Pour les questions 1.b et 1.c, l'élève doit faire preuve de précision. Pour le verre A à $5$ cm de hauteur, on cherche l'ordonnée correspondante sur la droite : on lit environ $141$ cm$^3$. Pour le verre B, pour un volume de $50$ cm$^3$, on cherche l'abscisse du point de la courbe : on trouve une hauteur d'environ $5,5$ cm.

Analyse de la Question 2 : Maîtrise des Formules de Géométrie

Ici, on quitte le graphique pour le calcul formel. L'énoncé rappelle fort heureusement les formules, mais la rigueur est de mise dans l'application numérique.
Pour le verre A (Cylindre) : $V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282,74$ cm$^3$.
Pour le verre B (Cône) : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 5,2^2 \times 10 \approx 282,74$ cm$^3$.
L'élève doit conclure que les deux verres ont, à l'unité près, un volume total identique de $283$ cm$^3$. C'est un point crucial : des formes différentes peuvent contenir la même quantité totale de liquide.

Analyse de la Question 3 : Résolution d'Équation Linéaire

On demande de trouver $h$ pour que le volume du verre A soit de $200$ cm$^3$. Puisque le volume du cylindre est proportionnel à la hauteur, nous posons l'équation : $\pi \times 3^2 \times h = 200$.
Cela nous donne $9\pi \times h = 200$, soit $h = \frac{200}{9\pi}$.
À la calculatrice, $h \approx 7,07$ cm. L'énoncé demandant une valeur approchée au centimètre près, la réponse attendue est $7$ cm. Cette question teste la capacité à isoler une variable dans une formule de géométrie.

Analyse de la Question 4 : Optimisation et Conversions d'Unités

Cette dernière partie est la plus proche d'une situation réelle de gestion de stock pour un restaurateur.
Question 4.a (Lecture stratégique) : À une hauteur fixée de $8$ cm, le graphique montre que la courbe du verre B est située en dessous de la droite du verre A. Cela signifie que pour une même hauteur de remplissage ($8$ cm), le verre B contient un volume de jus plus petit que le verre A. Par conséquent, avec une bouteille de 1 Litre, on pourra remplir plus de verres de type B que de verres de type A.
Question 4.b (Calcul de rendement) : Il faut d'abord convertir l'unité de volume. $1$ L = $1$ dm$^3$ = $1000$ cm$^3$.
Calculons le volume exact dans le verre A pour $h = 8$ cm : $V = \pi \times 3^2 \times 8 = 72\pi \approx 226,19$ cm$^3$.
Nombre de verres = $1000 / 226,19 \approx 4,42$.
Le restaurateur pourra donc servir au maximum $4$ verres complets de type A.

Pièges Classiques à Éviter au Brevet

1. L'erreur d'unité : Ne pas convertir le litre en cm$^3$ avant de diviser. Rappelez-vous toujours que dans une formule, toutes les unités doivent être cohérentes.
2. L'imprécision graphique : Sur le graphique, utilisez toujours une règle pour projeter les points sur les axes afin d'éviter les erreurs de lecture d'échelle (ici, l'axe des ordonnées monte par paliers de 50).
3. L'arrondi : Faites attention à l'énoncé. Si on demande l'arrondi au centimètre près, $7,07$ devient $7$, mais si on demande le nombre maximum de verres, $4,8$ devient $4$ (car le 5ème n'est pas plein).

Méthodologie de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez toujours la formule utilisée avant de passer aux chiffres.
- Précisez les unités dans vos phrases de conclusion.
- Pour les lectures graphiques, écrivez explicitement : "Par lecture graphique, on obtient...".
- Soulignez ou encadrez le résultat final.