Introduction aux notions clés du Brevet 2025

L'exercice 2 du sujet de Métropole 2025 est un classique indispensable pour tout élève de 3ème. Il s'articule autour d'un scénario d'aquathlon, mêlant habilement la géométrie plane et les statistiques. Les tags imposés, Pythagore, Thalès et la Trigonométrie, constituent le socle de l'évaluation. Cet exercice ne se contente pas de vérifier vos connaissances calculatoires ; il teste votre capacité à choisir le bon outil mathématique face à une situation concrète. Comprendre quand utiliser l'égalité de Pythagore par rapport à la réciproque de Thalès est la clé pour réussir cette épreuve.

Analyse Méthodique de la Partie A : Géométrie et Parcours

La première partie nous plonge dans un triangle rectangle et des configurations de droites sécantes. Voici le guide pas à pas pour ne manquer aucun point.

1. Justification de la longueur AD

La question demande de justifier que $AD = 200$ m. C'est une question de soumission de segments sur une droite. Puisque les points A, D, et E sont alignés dans cet ordre, nous utilisons la relation de Chasles pour les longueurs : $AD = AE - DE$. Avec les données de l'énoncé, $AE = 250$ m et $DE = 50$ m, le calcul est direct : $250 - 50 = 200$ m. Conseil du professeur : Ne négligez jamais de citer l'alignement des points, c'est ce qui autorise cette soustraction.

2. Calcul de la longueur CD avec Pythagore

Le triangle $ADC$ est déclaré rectangle en A. C'est le signal d'alarme pour utiliser le Théorème de Pythagore. On écrit : Dans le triangle ADC rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a $CD^2 = AC^2 + AD^2$. En remplaçant par les valeurs : $CD^2 = 480^2 + 200^2 = 230400 + 40000 = 270400$. En prenant la racine carrée, on trouve $CD = 520$ m. Cette étape est cruciale car elle valide votre maîtrise des carrés et des racines.

3. Vérification du parallélisme : Thalès à la rescousse

Pour savoir si $(CD) // (BE)$, il faut tester la Réciproque du Théorème de Thalès (ou ici, vérifier l'égalité des rapports). On calcule séparément les rapports issus du sommet commun A : d'une part $AC/AB$ et d'autre part $AD/AE$.
Attention : $AB = AC + CB = 480 + 120 = 600$ m.
Calculons : $AC/AB = 480/600 = 0,8$.
Calculons : $AD/AE = 200/250 = 0,8$.
Puisque $AC/AB = AD/AE$ et que les points A, C, B et A, D, E sont alignés dans le même ordre, alors les droites $(CD)$ et $(BE)$ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.

4. Trigonométrie : L'angle de la pente

On cherche la mesure de l'angle $\widehat{ACD}$. Dans le triangle ADC rectangle en A, nous connaissons le côté opposé ($AD = 200$) et le côté adjacent ($AC = 480$). L'outil parfait est la tangente.
$\tan(\widehat{ACD}) = \text{Opposé} / \text{Adjacent} = AD / AC = 200 / 480$.
À l'aide de la calculatrice (touche Arctan ou $tan^{-1}$), on trouve $\widehat{ACD} \approx 22,6°$. Puisque $22,6 > 20$, la condition est remplie.

Analyse de la Partie B : Statistiques et Vitesse

La seconde partie déplace le curseur vers le traitement de données et les grandeurs physiques.

5. Détermination du temps médian

La série comporte 9 valeurs. C'est un effectif impair, ce qui facilite la tâche. La médiane est la donnée qui sépare la série en deux groupes de même effectif. Pour $n=9$, la médiane est la $(\frac{9+1}{2})$-ème valeur, soit la 5ème valeur de la série ordonnée. En regardant la liste : 5min 30s ; 5min 45s ; 5min 49s ; 5min 50s ; 6min. Le temps médian est donc de 6 minutes. Cela signifie que la moitié des élèves ont mis moins de 6 minutes, et l'autre moitié plus.

6. Comparaison de vitesses : Le poisson rouge contre l'élève

C'est ici que les erreurs d'unités sont les plus fréquentes. La vitesse du poisson est de $5$ km/h. L'élève le plus rapide a mis $5$ min $30$ s pour $200$ m.
Convertissons la vitesse du poisson en mètres par seconde : $5 \text{ km/h} = 5000 \text{ m} / 3600 \text{ s} \approx 1,39 \text{ m/s}$.
Calculons la vitesse de l'élève : $5$ min $30$ s = $330$ secondes.
$V = D / T = 200 / 330 \approx 0,61 \text{ m/s}$.
Le poisson rouge nage donc plus vite que l'élève le plus rapide. Piège à éviter : Ne comparez jamais des km/h avec des m/min sans conversion préalable !

Les Pièges à éviter au Brevet

• Oublier les unités : Un résultat sans 'm' ou 'degrés' perd de sa valeur.
• Mauvaise rédaction de Thalès : Il faut impérativement mentionner l'alignement des points et le calcul séparé des rapports.
• Confusion en Trigonométrie : SOH CAH TOA est votre meilleur ami. Ne confondez pas le côté adjacent et l'hypoténuse.
• Arrondis : Respectez toujours la précision demandée (au degré près, au dixième, etc.).

Conseils de Rédaction pour maximiser vos points

Pour séduire le correcteur, structurez vos réponses : 'Je sais que...', 'Or d'après le théorème de...', 'Donc...'. Une copie propre avec les résultats encadrés est souvent synonyme de bonus de soin. En géométrie, faites toujours un petit schéma à main levée pour visualiser les positions des points et les longueurs connues, cela évite les erreurs de report de valeurs dans les formules.