Analyse de l'épreuve de triathlon
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité. Il sollicite des compétences fondamentales en analyse de fonctions : lecture graphique de coordonnées, interprétation du coefficient directeur comme une vitesse instantanée et calcul de taux de variation (vitesse moyenne). L'énoncé présente une fonction affine par morceaux représentant la distance parcourue $d(t)$ en fonction du temps $t$.
Points de vigilance et notions requises
- Conversion d'unités : La gestion du temps est cruciale. Le graphique est en minutes, alors que la vitesse finale est demandée en km/h. Il faut maîtriser le passage du format sexagésimal au format décimal ou utiliser le facteur $60$.
- Interprétation des paliers : Les segments horizontaux correspondent à une distance constante, donc à une vitesse nulle (temps de changement d'équipement).
- Pente et Vitesse : Plus la pente d'un segment est forte, plus la vitesse est élevée. C'est une introduction directe à la notion de nombre dérivé.
Guide de résolution détaillé
1. Premier changement d'équipement : Par lecture graphique, on observe le premier palier horizontal. Le mouvement s'interrompt à l'abscisse $t = 14$. L'athlète s'arrête donc au bout de 14 minutes.
2. Longueur de l'épreuve de cyclisme : L'épreuve de cyclisme correspond au segment [2]. Elle commence au point $(15 ; 0,4)$ et se termine au point $M(42 ; 10,4)$. La distance parcourue est la différence des ordonnées : $10,4 - 0,4 = 10$ km.
3. Durée de la course à pied : L'épreuve [3] débute après le deuxième changement, soit à $t = 44$ min (fin du palier horizontal à l'ordonnée $10,4$). Elle se termine à $t = 56$ min. La durée est donc de $56 - 44 = 12$ minutes.
4. Comparaison des vitesses : On peut comparer les pentes graphiquement ou calculer les vitesses :
- Natation : $0,4 ext{ km} / 14 ext{ min} \approx 0,028$ km/min.
- Cyclisme : $10 ext{ km} / 27 ext{ min} \approx 0,37$ km/min.
- Course : $2,5 ext{ km} / 12 ext{ min} \approx 0,21$ km/min.
L'athlète est la moins rapide en natation.
5. Vitesse moyenne totale : La distance totale est de $12,9$ km pour une durée totale de $56$ min. En utilisant la formule $V = rac{d}{t} imes 60$ pour obtenir des km/h : $V = rac{12,9}{56} imes 60 \approx 13,82$ km/h. La vitesse est donc inférieure à 14 km/h.