Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Amérique du Sud 2021, aborde des notions fondamentales de géométrie dans l'espace, de gestion des grandeurs (masse volumique) et de calculs commerciaux (pourcentages). Bien que le support soit un exercice de géométrie solide, il mobilise des compétences transversales essentielles en classe de Première, notamment la rigueur dans les conversions d'unités et la compréhension des coefficients multiplicateurs.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs points clés doivent être maîtrisés :

• Le remplissage d'un volume : Il ne suffit pas de diviser les volumes ; il faut vérifier que les dimensions sont des multiples les unes des autres pour garantir l'absence de vide (pavages).
• La masse volumique : La relation $m = \rho \times V$ nécessite une attention particulière aux unités ($g/cm^3$ vers $kg$).
• La géométrie du cylindre : La distinction entre rayon et diamètre est une source d'erreur classique.
• Les pourcentages : Savoir 'remonter' à la valeur initiale après une hausse nécessite l'utilisation du coefficient multiplicateur inverse.

Correction Détaillée

1. Étude des cartons et de la masse

a) Pour déterminer le nombre de cubes, on divise chaque dimension du carton par l'arête d'un cube (6 cm) :
En longueur : $60 / 6 = 10$ cubes.
En largeur : $36 / 6 = 6$ cubes.
En hauteur : $36 / 6 = 6$ cubes.
Total : $10 \times 6 \times 6 = 360$ cubes. Le carton est parfaitement rempli.

b) Volume total de cire : $V = 360 \times 6^3 = 360 \times 216 = 77\,760$ cm$^3$.
Masse totale : $M = 77\,760 \times 0,95 = 73\,872$ g.
En kilogrammes : $73,872$ kg, soit environ 74 kg à l'unité près.

2. Fabrication des bougies et recyclage

a) Le rayon du cylindre est $r = 6 / 2 = 3$ cm. Son volume est $V = \pi \times 3^2 \times 6 = 54\pi \approx 169,65$ cm$^3$. On arrondit bien à 170 cm$^3$.

b) Volume perdu par cube : $V_{perte} = 216 - 54\pi \approx 46,35$ cm$^3$.
Pour reconstituer un cube de 216 cm$^3$, il faut $n$ découpes telles que $n \times V_{perte} = 216$.
$n = 216 / (216 - 54\pi) \approx 4,66$. Il faut donc découper 5 cubes pour avoir assez de cire pour en reformer un nouveau.

3. Calcul du prix de revient

Le prix de vente est une augmentation de 20 % du prix d'achat. Soit $x$ le prix d'achat.
$x \times (1 + 20/100) = 9,60 \implies 1,2x = 9,60$.
$x = 9,60 / 1,2 = 8$. L'usine vend la bougie 8,00 €.