Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), mobilise des compétences fondamentales de modélisation géométrique attendues en Première Spécialité. Il s'agit de calculer le volume d'un cylindre creux (une couronne circulaire extrudée) pour en déduire sa masse à partir de la masse volumique du matériau. L'objectif final est de déterminer une contrainte logistique (nombre d'allers-retours) basée sur une limite de charge.

Points de vigilance et notions requises

• Conversion d'unités : Les dimensions sont en centimètres, mais la masse volumique est en kg/m³. Il est impératif de convertir les rayons et la hauteur en mètres dès le début du calcul.
• Calcul de l'aire de la base : Le cylindre étant creux, l'aire de la section en béton correspond à l'aire du grand disque moins l'aire du petit disque.
• Précision numérique : Ne pas arrondir trop tôt les valeurs intermédiaires pour éviter des erreurs sur le résultat final.

Guide de résolution détaillé

1. Identification des rayons :
Le rayon extérieur est $R = 101 / 2 = 50,5$ cm, soit $0,505$ m.
Le rayon intérieur est $r = 90 / 2 = 45$ cm, soit $0,45$ m.
La hauteur est $h = 50$ cm, soit $0,5$ m.

2. Calcul du volume de béton pour un cylindre :
Le volume $V$ est donné par la formule : $V = \pi imes (R^2 - r^2) imes h$.
$V = \pi imes (0,505^2 - 0,45^2) imes 0,5$
$V = \pi imes (0,255025 - 0,2025) imes 0,5$
$V = \pi imes 0,052525 imes 0,5 \approx 0,0825$ m³.

3. Calcul de la masse d'un cylindre :
Masse $m = ext{Volume} imes ext{Masse volumique}$
$m \approx 0,0825 imes 2400 = 198$ kg (valeur exacte avec $\pi$ : $m \approx 197,92$ kg).

4. Détermination du nombre d'allers-retours :
La remorque supporte 500 kg.
Nombre de cylindres par trajet : $500 / 198 \approx 2,52$. On peut donc transporter au maximum 2 cylindres par trajet.
Pour 5 cylindres : 2 cylindres (1er trajet), 2 cylindres (2ème trajet), 1 cylindre (3ème trajet).
Il faudra donc effectuer 3 allers-retours.