Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Grèce 2019, est un excellent support pour réviser les bases du calcul littéral et de l'analyse fonctionnelle en Première Spécialité. Il demande de traduire un programme de calcul sous forme d'expression algébrique, de simplifier une expression de degré 2 pour obtenir une fonction affine, et enfin d'interpréter graphiquement ces résultats à travers un QCM.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :

• Identités remarquables : La simplification de $f(x) = (x+1)^2 - x^2$ repose sur la maîtrise de la formule $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
• Fonctions affines : Identifier qu'une expression de la forme $ax+b$ correspond à une droite avec une pente (coefficient directeur) et une ordonnée à l'origine.
• Lecture graphique : Distinguer l'image (lecture sur l'axe des ordonnées $y$) de l'antécédent (lecture sur l'axe des abscisses $x$).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Test avec le nombre 2 :
Étape 1 : $2 + 1 = 3$.
Étape 2 : $3^2 = 9$.
Étape 3 : $9 - 2^2 = 9 - 4 = 5$. Le résultat est bien 5.

2. Test avec le nombre -3 :
Étape 1 : $-3 + 1 = -2$.
Étape 2 : $(-2)^2 = 4$.
Étape 3 : $4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$.

3. Simplification de $f(x)$ :
On a $f(x) = (x+1)^2 - x^2$.
En développant l'identité remarquable : $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.
Ainsi, $f(x) = x^2 + 2x + 1 - x^2$.
Les termes en $x^2$ s'annulent, il reste : $f(x) = 2x + 1$.

Résolution du QCM

• Question 1 : La fonction $f(x) = 2x + 1$ est une fonction affine. Sa représentation est une droite. Son coefficient directeur est 2 (pente positive) et son ordonnée à l'origine est 1. Seule la Représentation C correspond (la A est une parabole, la B a une pente négative).
• Question 2 : Sur la Représentation A, pour $x=1$, la courbe passe par le point de coordonnées $(1, 4)$. L'image est donc 4.
• Question 3 : Sur la Représentation B, pour trouver l'antécédent de 3, on cherche l'abscisse du point d'ordonnée $y=3$. On lit graphiquement $x = -1$. La réponse est -1.