Introduction aux fondamentaux du Brevet des Collèges

L'exercice 1 du sujet du Brevet des Collèges 2019 pour la zone Amérique du Sud est un classique du genre : le questionnaire à affirmations de type « Vrai ou Faux ». Ce format d'épreuve est particulièrement exigeant car, contrairement à un QCM classique, il impose une justification rigoureuse pour chaque réponse. Les notions abordées ici — les statistiques, l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers), les transformations géométriques et les agrandissements/réductions — constituent le socle de base des mathématiques de 3ème. Maîtriser ces concepts est indispensable pour obtenir une mention au Brevet.

Analyse de l'Affirmation 1 : Maîtrise de l'étendue statistique

La première question porte sur les statistiques descriptives, et plus précisément sur la notion d'étendue. L'énoncé nous donne une série de 7 valeurs : 37, 20, 18, 25, 45, 94 et 62. L'affirmation prétend que l'étendue est de 25. Pour vérifier cela, il faut revenir à la définition mathématique : l'étendue d'une série statistique est la différence entre la valeur la plus élevée (le maximum) et la valeur la plus basse (le minimum) de cette série.

Étape 1 : Identifier le maximum. Dans notre liste, la valeur maximale est 94. Étape 2 : Identifier le minimum. La valeur la plus faible est 18. Étape 3 : Calculer la différence. $94 - 18 = 76$. Puisque $76 \neq 25$, l'affirmation est fausse. Un piège fréquent ici serait de confondre l'étendue avec l'écart entre deux nombres quelconques de la série ou de ne pas trier mentalement les données avant l'analyse.

Analyse de l'Affirmation 2 : Décomposition et diviseurs premiers

La deuxième affirmation nous plonge dans l'arithmétique : « Les nombres 70 et 90 ont exactement deux diviseurs premiers en commun ». Pour répondre, la méthode la plus efficace est la décomposition en produits de facteurs premiers.

Décomposons 70 : $70 = 7 \times 10 = 7 \times 2 \times 5$. Les diviseurs premiers de 70 sont donc {2, 5, 7}. Décomposons 90 : $90 = 9 \times 10 = 3^2 \times 2 \times 5$. Les diviseurs premiers de 90 sont {2, 3, 5}. En comparant les deux listes, nous identifions les diviseurs communs : 2 et 5. Il y en a donc exactement deux. L'affirmation est vraie. Ce type d'exercice demande une grande précision dans le calcul mental et une connaissance parfaite de la liste des premiers nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13...).

Analyse de l'Affirmation 3 : Géométrie et Transformations du plan

L'affirmation 3 traite des transformations géométriques. On nous demande si le passage du quadrilatère BUTS au quadrilatère VRAC se fait par une translation. En observant la figure (via les coordonnées PSset ou l'aspect visuel), on remarque immédiatement que le quadrilatère VRAC a subi un retournement. Une translation est un glissement sans rotation ni retournement (elle conserve l'orientation des figures). Ici, le quadrilatère VRAC semble être l'image de BUTS par une symétrie centrale ou une rotation de 180 degrés autour d'un point situé entre les deux figures. Par conséquent, il est impossible qu'une simple translation transforme BUTS en VRAC. L'affirmation est donc fausse.

Analyse de l'Affirmation 4 : Agrandissement et calcul de volume

Enfin, la quatrième affirmation porte sur les propriétés des agrandissements et réductions : « Quand on multiplie l'arête d'un cube par 3, son volume est multiplié par 27 ». C'est un point de cours crucial du cycle 4. Si les dimensions d'un solide sont multipliées par un coefficient $k$, alors les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes sont multipliés par $k^3$.

Appliquons cette règle : l'arête est multipliée par $k = 3$. Le volume est donc multiplié par $k^3 = 3^3$. Or, $3 \times 3 \times 3 = 27$. L'affirmation est donc parfaitement vraie. Ce concept est souvent source d'erreurs : beaucoup d'élèves pensent que le volume augmente dans les mêmes proportions que l'arête, oubliant l'élévation au cube.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Le principal danger dans ce type d'exercice est l'absence de justification ou une justification incomplète. Pour l'affirmation 1, ne vous contentez pas de dire « c'est faux ». Écrivez le calcul : « L'étendue est $94 - 18 = 76$, donc l'affirmation est fausse ». Pour l'arithmétique, montrez systématiquement vos décompositions. En géométrie, utilisez le vocabulaire précis : « conservation de l'alignement », « parallélisme », ou ici, « modification de l'orientation ». Pour les volumes, citez la propriété du cours liant le coefficient d'agrandissement au volume ($k^3$).

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Sur votre copie de Brevet, structurez votre réponse de la manière suivante : 1. Enoncez clairement si l'affirmation est Vraie ou Fausse. 2. Présentez vos calculs ou votre raisonnement logique. 3. Concluez par une phrase de synthèse. Rappelez-vous que le correcteur n'évalue pas seulement votre résultat, mais surtout votre capacité à démontrer scientifiquement une proposition. Un raisonnement juste avec une petite erreur de calcul peut rapporter des points, tandis qu'un bon résultat sans explication n'en rapporte généralement aucun dans ce type d'exercice.